Exercício 7. (D.K. ex. 6.2) Seja como no exercício anterior, ou seja, . Mostre que para todo , temos
Por que a notação é adequada para ?
(Dica: Use Série de Taylor em para provar o limite e os resultados do exercício anterior)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em sentido de distribuições em , a família
admite a expansão de Taylor em
mais precisamente
Para provar isso usaremos (i) a definição de convergência em como teste contra , (ii) a expansão de Taylor de em torno de até ordem e (iii) cálculo dos momentos da gaussiana .
Passo 2
Convergência em distribuições significa que, para cada , devemos ver
Como , isto é
Passo 3
Expandimos em torno de até ordem :
onde o resto satisfaz .
Então
Passo 4
Para momentos gaussianos vale: se
Esse valor reproduz exatamente . Logo
O termo de resto satisfa . Portanto
e dividindo por obtemos o limite desejado.
Passo 5
Assim mostramos que
Quanto à notação ut=e^tDe<ade<a: aqui e^tDe<at>=0 é o semigrupo gerado pelo laplaciano que resolve a equação do calor partialtu=De<a u com dado inicial u0=de<a. Logo é apropriado escrever a solução explícita ut como a ação de e^tDe<a sobre de<a.
Resposta
O limite
limtto0^+1t^kl(ut-sumj=0^k-1tfract^jj!De<a^jde<ar) =1k!,De<a^kde<a em D'(R^n)
vale para todo kinN0, e a notação ut=e^tDe<ade<a é adequada porque e^tDe<a forma o semigrupo do operador laplaciano que dá a solução da equação do calor com condição inicial de<a.