Exercício 7. (D.K. ex. 6.2) Seja ut como no exercício anterior, ou seja, ut(x)=1(4 pi t)^n2 e^-|x|^24 t. Mostre que para todo k in N0, temos
lim t 0^+ 1t^k(ut-sumj=0^k-1 t^jj! De<a^j de<a)=1k! De<a^k de<a em D^prime(R^n)
Por que a notação ut=e^t De<a de<a é adequada para t>0 ?
(Dica: Use Série de Taylor em t para provar o limite e os resultados do exercício anterior)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em sentido de distribuições em D'(R^n), a família
ut(x)=1(4pi t)^ n2e^-|x|^24t
admite a expansão de Taylor em t
ut;sim;sumj=0^inftyt^jj!,De<a^jde<a,
mais precisamente
limtto0^+1t^kl(ut-sumj=0^k-1t^jj!De<a^jde<ar) =1k!,De<a^kde<a
Para provar isso usaremos (i) a definição de convergência em D' como teste contra varphiinD, (ii) a expansão de Taylor de varphi em torno de 0 até ordem 2k e (iii) cálculo dos momentos da gaussiana ut.

Passo 2

Convergência em distribuições significa que, para cada varphiinD(R^n), devemos ver
llang<= 1t^kl(ut-sumj=0^k-1tfract^jj!De<a^jde<ar),varphi rrang<= ;longrightarrow; llang<=tfrac1k!De<a^kde<a,varphirrang<=
Como lang<=De<a^jde<a,varphirang<==lang<=de<a,De<a^jvarphirang<==De<a^jvarphi(0), isto é
1t^kl(lang<= ut,varphirang<= -sumj=0^k-1t^jj!,De<a^jvarphi(0)r) ;longrightarrow; 1k!,De<a^kvarphi(0)

Passo 3

Expandimos varphi em torno de 0 até ordem 2k:
varphi(x) =sum|alpha|<=2kx^alphaalpha!,partial^alphavarphi(0) ;+;R2k+1(x),
onde o resto satisfaz ;R2k+1(x)=O(|x|^2k+1).
Então
lang<= ut,varphirang<= =sum|alpha|<=2kpartial^alphavarphi(0)alpha! integralR^nx^alpha,ut(x),dx ;+; integralR^nR2k+1(x),ut(x),dx

Passo 4

Para momentos gaussianos vale: se
Esse valor reproduz exatamente . Logo
O termo de resto satisfa . Portanto
e dividindo por obtemos o limite desejado.

Passo 5

Assim mostramos que
1t^kl(ut-sumj=0^k-1tfract^jj!De<a^jde<ar) ;xrightarrow[tto0^+]; tfrac1k!,De<a^kde<a em D'(R^n)
Quanto à notação ut=e^tDe<ade<a: aqui e^tDe<at>=0 é o semigrupo gerado pelo laplaciano que resolve a equação do calor partialtu=De<a u com dado inicial u0=de<a. Logo é apropriado escrever a solução explícita ut como a ação de e^tDe<a sobre de<a.

Resposta

O limite
limtto0^+1t^kl(ut-sumj=0^k-1tfract^jj!De<a^jde<ar) =1k!,De<a^kde<a em D'(R^n)
vale para todo kinN0, e a notação ut=e^tDe<ade<a é adequada porque e^tDe<a forma o semigrupo do operador laplaciano que dá a solução da equação do calor com condição inicial de<a.

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