Calcule a integral de linha por comprimento de arco
\int_{C} x^{3}\left(1+\cos \left(\pi\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}\right)\right) d s
onde C é a curva dada pelo segmento de reta com início na origem e final no ponto (5,0).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha por comprimento de arco
\int_{C} x^{3}\left(1+\cos \left(\pi\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}\right)\right) d s,
onde C é o segmento de reta que começa em (0,0) e termina em (5,0).
Informações dadas:
A integranda é x^{3}\left(1+\cos\left(\pi\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}\right)\right).
A curva C é o segmento de reta de (0,0) até (5,0).
Precisamos usar o elemento de comprimento de arco d s ao longo de C e calcular a integral definida correspondente.
Passo 2
Parametrização do segmento de reta. Um jeito natural de parametrizar um segmento de reta é usar um parâmetro t que vai de 0 até 1. Para o segmento de (0,0) a (5,0) podemos usar a parametrização
Aqui x(t)=5t e y(t)=0. Essa parametrização percorre o segmento: quando t=0 temos (0,0) e quando t=1 temos (5,0).
Explicação didática: parametrizar é dar as coordenadas em função de um parâmetro. Para um segmento na direção do eixo x é bem simples: escolhemos x variando linearmente de 0 a 5 e y constante igual a 0.
Passo 3
Elemento de comprimento de arco d s na parametrização. A fórmula geral é
d s = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\, dt.
Calculamos as derivadas para a nossa parametrização:
Comentário prático: como o segmento tem comprimento total 5 (é do 0 ao 5 no eixo x), o fator 5\,dt faz sentido — quando t varia de 0 a 1 acumulamos comprimento 5.
Passo 4
Reescrever a integral em termos de t. Substituímos x=5t, y=0 e d s = 5\,dt na integral:
\int_{C} x^{3}\left(1+\cos\left(\pi\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}\right)\right) d s = \int_{0}^{1} (5t)^{3}\left(1+\cos\left(\pi\left((5t)^{2}+0^{2}\right)^{2}\right)\right)\cdot 5\,dt.
Simplificamos as potências: (5t)^{3}=125 t^{3} e (5t)^{2}=25 t^{2}, então \left((5t)^{2}\right)^{2}=(25 t^{2})^{2}=625 t^{4}. Portanto a integral fica
Alternativa mais direta: usar x como parâmetro. Observação prática: como a curva é o próprio eixo x de 0 a 5, podemos parametrizar por x diretamente. Nesse caso y=0 e d s = \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx. Como dy/dx=0, temos d s = dx. Assim a integral fica
Calcular a segunda integral usando substituição. A integral é
\int_{0}^{5} x^{3}\cos\left(\pi x^{4}\right)\,dx.
Observação: vemos x^{4} dentro do cosseno e temos um fator x^{3}\,dx fora. Isso sugere a substituição u = \pi x^{4}, porque du será proporcional a x^{3}\,dx.
Fazemos a substituição:
u = \pi x^{4}\quad\Rightarrow\quad du = 4\pi x^{3}\,dx \quad\Rightarrow\quad x^{3}\,dx = \frac{du}{4\pi}.
Quando x=0, u=0. Quando x=5, u=\pi\cdot 5^{4}=\pi\cdot 625=625\pi.
Usamos a propriedade trigonométrica: \sin(k\pi)=0 para todo inteiro k. Aqui 625 é inteiro, logo \sin(625\pi)=0, e \sin(0)=0. Portanto a expressão vale
\frac{1}{4\pi}(0-0)=0.
Conclusão: a segunda integral é zero.
Passo 10
Somando as duas partes: primeira integral \dfrac{625}{4} e segunda integral 0. Logo o valor total da integral de linha é
\frac{625}{4}.
Comentário final e motivacional: repare que o termo com o cosseno desapareceu por causa da substituição e da periodicidade de \sin (seno de múltiplos inteiros de \pi é zero). Esse tipo de reflexão rápida pode te salvar tempo na prova — sempre procure substituições que transformem integrais trigonométricas em funções cujos valores nas fronteiras são conhecidos.