(2 p) A função de onda independente do tempo de uma partícula livre (
) de massa
é
. Use operadores para achar momento linear e energia total da partícula em função da posição.
Passo 1
O enunciado dá a função de onda independente do tempo de uma partícula livre de massa
,
com potencial
. O que precisamos é usar o operador de momento linear
e o operador Hamiltoniano
para encontrar o momento e a energia total como funções de
.
Passo 2
O operador de momento linear na representação em
vale
Para ver se
é autovetor desse operador, calculamos
.
Passo 3
Aplicando
em
temos
Logo
é autovetor de
com autovalor
.
Passo 4
O operador Hamiltoniano para partícula livre é
(e como
, só fica o termo cinético). Vamos aplicar
em
.
Passo 5
Ao atuar duas vezes com a derivada em
obtemos
e assim
Portanto
é autovetor de
com autovalor
.
Resposta
Momento linear:
Energia total:
Energia total: