(2 p) A função de onda independente do tempo de uma partícula livre ( V(x)=0 ) de massa m é \psi(x)=A \cdot e^{i k x}. Use operadores para achar momento linear e energia total da partícula em função da posição.

Passo 1

O enunciado dá a função de onda independente do tempo de uma partícula livre de massa m,
\psi(x)=A\,e^{ikx},
com potencial V(x)=0. O que precisamos é usar o operador de momento linear \hat p e o operador Hamiltoniano \hat H para encontrar o momento e a energia total como funções de x.

Passo 2

O operador de momento linear na representação em x vale
\hat p = -\,i\hbar\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\,.
Para ver se \psi(x) é autovetor desse operador, calculamos \hat p\,\psi(x).

Passo 3

Aplicando \hat p em \psi(x) temos
\hat p\,\psi(x) = -\,i\hbar\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(A\,e^{ikx}\bigr) = -\,i\hbar\,A\,(ik)\,e^{ikx} = \hbar k\,\bigl(A\,e^{ikx}\bigr) = \hbar k\,\psi(x)\,.
Logo \psi(x) é autovetor de \hat p com autovalor \hbar k.

Passo 4

O operador Hamiltoniano para partícula livre é
\hat H = \frac{\hat p^{2}}{2m} + V(x) = -\,\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}
(e como V(x)=0, só fica o termo cinético). Vamos aplicar \hat H em \psi(x).

Passo 5

Ao atuar duas vezes com a derivada em \psi(x) obtemos
\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}\bigl(e^{ikx}\bigr) = (ik)^{2}\,e^{ikx} = -\,k^{2}\,e^{ikx}
e assim
\hat H\,\psi(x) = -\,\frac{\hbar^{2}}{2m}\bigl(-k^{2}\bigr)\,A\,e^{ikx} = \frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}\,\psi(x)\,.
Portanto \psi(x) é autovetor de \hat H com autovalor \hbar^{2}k^{2}/(2m).

Resposta

Momento linear: p=\hbar k
Energia total: E=\dfrac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}

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