Dois recipientes cilíndricos idênticos,
e
, com áreas de base
e no mesmo nível, contêm um líquido de massa específica
. Em
a altura do líquido é de
e em
. Quando as bases de
e
são conectadas por um tubo, encontre caso
seja pressurizado, com pressão manométrica interna na superfície livre do líquido igual à metade da pressão na base do recipiente não pressurizado
, o trabalho realizado pela força gravitacional para levar o sistema ao equilíbrio. (Dado:
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema envolvendo dois recipientes cilíndricos, chamados A e B, que são idênticos e têm uma área de base de
. Ambos estão no mesmo nível e contêm um líquido com massa específica de
. No recipiente A, a altura do líquido é de
e no B,
. Quando conectamos as bases de A e B por um tubo, o recipiente B é pressurizado de forma que a pressão na superfície livre do líquido em B é metade da pressão na base de A. Queremos encontrar o trabalho realizado pela força gravitacional para levar o sistema ao equilíbrio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidrostática e trabalho mecânico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é massa específica. Massa específica (
) é a massa por unidade de volume de uma substância. Ela nos ajuda a calcular a pressão exercida pelo líquido.
A fórmula para pressão (
) em um líquido em repouso é:
onde:
-
é a massa específica, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura do líquido.
Passo 3
Vamos calcular a pressão na base do recipiente A. Usando a fórmula mencionada:
Substituindo os valores:
Então, a pressão na base de A é aproximadamente
.
Passo 4
A pressão manométrica na superfície livre do líquido em B é metade da pressão na base de A. Então:
Passo 5
No equilíbrio, as pressões nas duas superfícies conectadas devem ser iguais. Portanto, a pressão na superfície de B (
) deve ser igual à pressão na superfície de A mais a pressão exercida pela coluna de líquido em A:
Onde
é a nova altura do líquido em A após o equilíbrio. Mas como
já é conhecido, podemos encontrar
:
Passo 6
Agora, vamos determinar a altura do líquido em B após o equilíbrio. Sabemos que o volume de líquido total permanece o mesmo. Inicialmente, as alturas eram
e
. Após o equilíbrio, temos
e queremos encontrar
.
Como os recipientes são idênticos:
Como o volume é constante:
Cancelando
:
Substituindo os valores:
Passo 7
Para encontrar o trabalho realizado pela força gravitacional, precisamos calcular a mudança na energia potencial gravitacional do sistema.
A energia potencial gravitacional (
) é dada por:
Vamos calcular a energia potencial antes e depois do equilíbrio e encontrar a diferença.
Energia inicial (
):
Energia final (
):
O trabalho realizado (
) é a diferença entre a energia final e a inicial:
Passo 8
Vamos calcular
:
Primeiro, precisamos converter a área de base para metros quadrados:
Agora, substituindo os valores:
Calculando os quadrados:
Substituindo:
Passo 9
Agora, calculamos
:
Calculando os quadrados:
Substituindo:
Passo 10
Finalmente, calculamos o trabalho realizado:
Resposta
O trabalho realizado pela força gravitacional para levar o sistema ao equilíbrio é aproximadamente
.