Dois recipientes cilíndricos idênticos, A e B, com áreas de base 385,7 cm^2 e no mesmo nível, contêm um líquido de massa específica 1,20 kg / m^3. Em A a altura do líquido é de 3,47 m e em B, 4,22 m. Quando as bases de A e B são conectadas por um tubo, encontre caso B seja pressurizado, com pressão manométrica interna na superfície livre do líquido igual à metade da pressão na base do recipiente não pressurizado A, o trabalho realizado pela força gravitacional para levar o sistema ao equilíbrio. (Dado: g=9,80 m / s^2 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema envolvendo dois recipientes cilíndricos, chamados A e B, que são idênticos e têm uma área de base de 385,7 , cm²². Ambos estão no mesmo nível e contêm um líquido com massa específica de 1,20 , kg/m³³. No recipiente A, a altura do líquido é de 3,47 , m e no B, 4,22 , m. Quando conectamos as bases de A e B por um tubo, o recipiente B é pressurizado de forma que a pressão na superfície livre do líquido em B é metade da pressão na base de A. Queremos encontrar o trabalho realizado pela força gravitacional para levar o sistema ao equilíbrio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidrostática e trabalho mecânico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é massa específica. Massa específica ( rho) é a massa por unidade de volume de uma substância. Ela nos ajuda a calcular a pressão exercida pelo líquido.
A fórmula para pressão ( P) em um líquido em repouso é:
P = rho cdot g cdot h
onde:
  • rho é a massa específica,
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,80 , m/s²²),
  • h é a altura do líquido.

Passo 3

Vamos calcular a pressão na base do recipiente A. Usando a fórmula mencionada:
PA = rho cdot g cdot hA
Substituindo os valores:
PA = 1,20 , kg/m³ cdot 9,80 , m/s² cdot 3,47 , m ³²
PA = 1,20 cdot 9,80 cdot 3,47
PA approx 40,78 , Pa
Então, a pressão na base de A é aproximadamente 40,78 , Pa.

Passo 4

A pressão manométrica na superfície livre do líquido em B é metade da pressão na base de A. Então:
PB = PA2
PB = 40,78 , Pa2
PB = 20,39 , Pa

Passo 5

No equilíbrio, as pressões nas duas superfícies conectadas devem ser iguais. Portanto, a pressão na superfície de B ( PB) deve ser igual à pressão na superfície de A mais a pressão exercida pela coluna de líquido em A:
PB = rho cdot g cdot hA'
Onde hA' é a nova altura do líquido em A após o equilíbrio. Mas como PB já é conhecido, podemos encontrar hA':
20,39 , Pa = 1,20 , kg/m³ cdot 9,80 , m/s² cdot hA' ³²
hA' = 20,391,20 cdot 9,80
hA' approx 20,3911,76
hA' approx 1,737 , m

Passo 6

Agora, vamos determinar a altura do líquido em B após o equilíbrio. Sabemos que o volume de líquido total permanece o mesmo. Inicialmente, as alturas eram hA = 3,47 , m e hB = 4,22 , m. Após o equilíbrio, temos hA' = 1,737 , m e queremos encontrar hB'.
Como os recipientes são idênticos:
Volume inicial = A cdot hA + A cdot hB
Volume final = A cdot hA' + A cdot hB'
Como o volume é constante:
A cdot hA + A cdot hB = A cdot hA' + A cdot hB'
Cancelando A:
hA + hB = hA' + hB'
Substituindo os valores:
3,47 + 4,22 = 1,737 + hB'
7,69 = 1,737 + hB'
hB' = 7,69 - 1,737
hB' approx 5,953 , m

Passo 7

Para encontrar o trabalho realizado pela força gravitacional, precisamos calcular a mudança na energia potencial gravitacional do sistema.
A energia potencial gravitacional ( U) é dada por:
U = rho cdot g cdot A cdot h^22
Vamos calcular a energia potencial antes e depois do equilíbrio e encontrar a diferença.
Energia inicial ( Ui):
Ui = rho cdot g cdot A cdot ( hA^22 + hB^22 )
Energia final ( Uf):
Uf = rho cdot g cdot A cdot ( hA'^22 + hB'^22 )
O trabalho realizado ( W) é a diferença entre a energia final e a inicial:
W = Uf - Ui

Passo 8

Vamos calcular Ui:
Primeiro, precisamos converter a área de base para metros quadrados:
A = 385,7 , cm² = 0,03857 , m² ²²
Agora, substituindo os valores:
Ui = 1,20 cdot 9,80 cdot 0,03857 cdot ( 3,47^22 + 4,22^22 )
Calculando os quadrados:
3,47^2 = 12,04
4,22^2 = 17,82
Substituindo:
Ui = 1,20 cdot 9,80 cdot 0,03857 cdot ( 12,042 + 17,822 )
Ui = 1,20 cdot 9,80 cdot 0,03857 cdot (6,02 + 8,91)
Ui = 1,20 cdot 9,80 cdot 0,03857 cdot 14,93
Ui approx 1,20 cdot 9,80 cdot 0,03857 cdot 14,93
Ui approx 6,75 , J

Passo 9

Agora, calculamos Uf:
Uf = 1,20 cdot 9,80 cdot 0,03857 cdot ( 1,737^22 + 5,953^22 )
Calculando os quadrados:
1,737^2 approx 3,017
5,953^2 approx 35,44
Substituindo:
Uf = 1,20 cdot 9,80 cdot 0,03857 cdot ( 3,0172 + 35,442 )
Uf = 1,20 cdot 9,80 cdot 0,03857 cdot (1,5085 + 17,72)
Uf = 1,20 cdot 9,80 cdot 0,03857 cdot 19,2285
Uf approx 1,20 cdot 9,80 cdot 0,03857 cdot 19,2285
Uf approx 8,66 , J

Passo 10

Finalmente, calculamos o trabalho realizado:
W = Uf - Ui
W = 8,66 , J - 6,75 , J
W approx 1,91 , J

Resposta

O trabalho realizado pela força gravitacional para levar o sistema ao equilíbrio é aproximadamente 1,91 , J.

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