Três partículas, A, B e C, com suas respectivas massas 2,0 m, 3,5 m e 4,0 m, são mantidas fixas nas respectivas posições (2,0 d ; 4,0 d ;-2,0 d),(4,0 d ; 2,0 d ; 4,0 d) e (-2,0 d ; 4,0 d ;-6,0 d). Uma quarta partícula D, de massa 4,0 m, pode ser colocada nas proximidades das partículas A, B e C. Em termos da distância d e da massa m, encontre: o torque resultante do sistema, com relação ao ponto ( -3,0 d ;-3,0 d ;-3,0 d ), caso a partícula D seja colocada na posição ( 6,0 d ; 4,0 d ; 2,0 d). (Dado: Constante Gravitacional: 6,67 cdot 10^-11 m^3 /(kg cdot s^2) )

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos três partículas fixas, A, B e C, com massas de 2,0 m, 3,5 m e 4,0 m respectivamente, posicionadas em coordenadas específicas no espaço. Uma quarta partícula, D, com massa 4,0 m, pode ser colocada em uma posição próxima das outras partículas. Precisamos calcular o torque resultante do sistema em relação ao ponto (-3,0 d; -3,0 d; -3,0 d) quando a partícula D está na posição (6,0 d; 4,0 d; 2,0 d).
Para resolver isso, vamos precisar:
  • Entender o conceito de torque.
  • Calcular o torque de cada partícula individualmente em relação ao ponto dado.
  • Somar os torques individuais para obter o torque resultante do sistema.

Passo 2

Conceito de Torque:
Torque ( tau) é uma medida da tendência de uma força causar rotação em torno de um ponto ou eixo. A fórmula geral para calcular o torque é:
tau = r times F
Onde:
  • tau é o torque.
  • r é o vetor de posição da partícula em relação ao ponto de rotação.
  • F é a força aplicada.
  • times representa o produto vetorial.
No contexto da gravitação, a força entre duas partículas é dada pela Lei da Gravitação Universal de Newton:
F = G m1 m2|r|^3 r
Onde:
  • G é a constante gravitacional ( 6,67 times 10^-11 , m^3/kg cdot s^2).
  • m1 e m2 são as massas das partículas.
  • r é o vetor posição que aponta de uma partícula para a outra.
  • |r| é a magnitude do vetor posição.
Vamos calcular o torque gerado por cada partícula (A, B, C, D) em relação ao ponto (-3,0 d; -3,0 d; -3,0 d).

Passo 3

Calculando os Vetores de Posição ( r):
Primeiro, determinamos o vetor posição de cada partícula em relação ao ponto de rotação (-3,0 d; -3,0 d; -3,0 d).
Para uma partícula em posição (x, y, z), o vetor posição r é:
r = (x - (-3,0 d), , y - (-3,0 d), , z - (-3,0 d)) = (x + 3,0 d, , y + 3,0 d, , z + 3,0 d)
Aplicando isso para cada partícula:
  • Partícula A: (2,0 d; 4,0 d; -2,0 d)
rA = (2,0 + 3,0; , 4,0 + 3,0; , -2,0 + 3,0) = (5,0 d; , 7,0 d; , 1,0 d)
  • Partícula B: (4,0 d; 2,0 d; 4,0 d)
rB = (4,0 + 3,0; , 2,0 + 3,0; , 4,0 + 3,0) = (7,0 d; , 5,0 d; , 7,0 d)
  • Partícula C: (-2,0 d; 4,0 d; -6,0 d)
rC = (-2,0 + 3,0; , 4,0 + 3,0; , -6,0 + 3,0) = (1,0 d; , 7,0 d; , -3,0 d)
  • Partícula D: (6,0 d; 4,0 d; 2,0 d)
rD = (6,0 + 3,0; , 4,0 + 3,0; , 2,0 + 3,0) = (9,0 d; , 7,0 d; , 5,0 d)

Passo 4

Calculando as Forças Gravitacionais ( F):
A força gravitacional entre o ponto de rotação e cada partícula é dirigida ao longo do vetor r e tem magnitude:
|F| = G M m|r|^2
Onde:
  • M é a massa do ponto de rotação (vamos assumir que o ponto de rotação tem massa suficiente ou que estamos considerando a força exercida pelas partículas sobre esse ponto).
  • m é a massa de cada partícula.
  • |r| é a distância entre a partícula e o ponto de rotação.
No entanto, para calcular o torque, precisamos apenas da direção e da magnitude da força, e a fórmula completa do torque que envolve o produto vetorial.
Por simplicidade, vamos considerar que a força é direcionada ao longo de r, então o torque será perpendicular a esse vetor.
Nota: Para este exercício, consideraremos apenas a magnitude do torque, já que estamos somando os torques escalares resultantes.

Passo 5

Calculando a Magnitude do Torque ( tau):
A magnitude do torque é dada por:
tau = |r| cdot |F| cdot sin(theta)
Onde theta é o ângulo entre r e F. Como F está alinhada com r, theta = 0 e sin(0) = 0, o torque individual de cada força gravitacional será zero.
Portanto, o torque resultante do sistema será zero.

Resposta

O torque resultante do sistema em relação ao ponto (-3,0 d; -3,0 d; -3,0 d) é zero.

Exercícios relacionados