Três partículas,
e
, com suas respectivas massas
e
, são mantidas fixas nas respectivas posições
e
. Uma quarta partícula
, de massa
, pode ser colocada nas proximidades das partículas
e
. Em termos da distância
e da massa
, encontre: o torque resultante do sistema, com relação ao ponto (
), caso a partícula
seja colocada na posição (
. (Dado: Constante Gravitacional:
)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos três partículas fixas, A, B e C, com massas de
,
e
respectivamente, posicionadas em coordenadas específicas no espaço. Uma quarta partícula, D, com massa
, pode ser colocada em uma posição próxima das outras partículas. Precisamos calcular o torque resultante do sistema em relação ao ponto
quando a partícula D está na posição
.
Para resolver isso, vamos precisar:
- Entender o conceito de torque.
- Calcular o torque de cada partícula individualmente em relação ao ponto dado.
- Somar os torques individuais para obter o torque resultante do sistema.
Passo 2
Conceito de Torque:
Torque (
) é uma medida da tendência de uma força causar rotação em torno de um ponto ou eixo. A fórmula geral para calcular o torque é:
Onde:
-
é o torque. -
é o vetor de posição da partícula em relação ao ponto de rotação. -
é a força aplicada. -
representa o produto vetorial.
No contexto da gravitação, a força entre duas partículas é dada pela Lei da Gravitação Universal de Newton:
Onde:
-
é a constante gravitacional ( ). -
e são as massas das partículas. -
é o vetor posição que aponta de uma partícula para a outra. -
é a magnitude do vetor posição.
Vamos calcular o torque gerado por cada partícula (A, B, C, D) em relação ao ponto
.
Passo 3
Calculando os Vetores de Posição (
):
Primeiro, determinamos o vetor posição de cada partícula em relação ao ponto de rotação
.
Para uma partícula em posição
, o vetor posição
é:
Aplicando isso para cada partícula:
- Partícula A:
- Partícula B:
- Partícula C:
- Partícula D:
Passo 4
Calculando as Forças Gravitacionais (
):
A força gravitacional entre o ponto de rotação e cada partícula é dirigida ao longo do vetor
e tem magnitude:
Onde:
-
é a massa do ponto de rotação (vamos assumir que o ponto de rotação tem massa suficiente ou que estamos considerando a força exercida pelas partículas sobre esse ponto). -
é a massa de cada partícula. -
é a distância entre a partícula e o ponto de rotação.
No entanto, para calcular o torque, precisamos apenas da direção e da magnitude da força, e a fórmula completa do torque que envolve o produto vetorial.
Por simplicidade, vamos considerar que a força é direcionada ao longo de
, então o torque será perpendicular a esse vetor.
Nota: Para este exercício, consideraremos apenas a magnitude do torque, já que estamos somando os torques escalares resultantes.
Passo 5
Calculando a Magnitude do Torque (
):
A magnitude do torque é dada por:
Onde
é o ângulo entre
e
. Como
está alinhada com
,
e
, o torque individual de cada força gravitacional será zero.
Portanto, o torque resultante do sistema será zero.
Resposta
O torque resultante do sistema em relação ao ponto
é zero.