P. 6 Quais das igualdades abaixo são verdadeiras?
a)
b)
c)
d)
e)
e
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede para verificar quais das igualdades de conjuntos abaixo são verdadeiras. Vamos usar dois fatos básicos sobre conjuntos:
- Dois conjuntos são iguais se e somente se têm exatamente os mesmos elementos, sem considerar repetição nem ordem.
- Para escrever conjuntos definidos por equações, precisamos resolver essas equações (e prestar atenção ao domínio indicado, como em (b) que restringe a
).
Passo 2
Analisando a igualdade
.
Na definição de conjunto, repetições não contam e a ordem não importa.
Logo ambos representam exatamente os elementos ,
e
.
Portanto (a) é verdadeira.
Na definição de conjunto, repetições não contam e a ordem não importa.
Logo ambos representam exatamente os elementos
Portanto (a) é verdadeira.
Passo 3
Analisando
.
À esquerda, sem restrição de domínio, as soluções de são
e
.
À direita, deve ser inteiro e satisfazer
. As raízes são
,
e
, mas este último não é inteiro.
Logo o lado direito é , igual ao lado esquerdo.
Portanto (b) é verdadeira.
À esquerda, sem restrição de domínio, as soluções de
À direita,
Logo o lado direito é
Portanto (b) é verdadeira.
Passo 4
Analisando
.
Resolvendo a equação da direita:
Resolvendo a equação da direita:
Assim o conjunto da direita é
, que coincide com o da esquerda.
Portanto (c) é verdadeira.
Portanto (c) é verdadeira.
Passo 5
Analisando
.
No primeiro conjunto, dá
, logo é
.
No segundo, não admite solução real (pois
para todo
), então é o conjunto vazio
.
Como , essa igualdade é falsa.
No primeiro conjunto,
No segundo,
Como
Passo 6
Analisando
.
Para temos
,
,
e
.
Portanto o conjunto à direita é exatamente .
Logo (e) é verdadeira.
Para
Portanto o conjunto à direita é exatamente
Logo (e) é verdadeira.
Resposta
As igualdades verdadeiras são
(a), (b), (c) e (e).
(a), (b), (c) e (e).