P. 6 Quais das igualdades abaixo são verdadeiras?
raiz a) a, b, c=c, c, a, b, b
b) x mid x^2=1=x in Z mid(x+1)(x-1)(2 x+3)=0
c) 0=x mid 2 x+10=3(x+4)-2
d) x mid x+7=7=x mid x^2<0
e) 1,2,4,8=x mid x=2^n e n in0,1,2,3

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais das igualdades de conjuntos abaixo são verdadeiras. Vamos usar dois fatos básicos sobre conjuntos:
  1. Dois conjuntos são iguais se e somente se têm exatamente os mesmos elementos, sem considerar repetição nem ordem.
  2. Para escrever conjuntos definidos por equações, precisamos resolver essas equações (e prestar atenção ao domínio indicado, como em (b) que restringe a xinZ).

Passo 2

Analisando a igualdade
a,b,c=c,c,a,b,b.
Na definição de conjunto, repetições não contam e a ordem não importa.
Logo ambos representam exatamente os elementos a, b e c.
Portanto (a) é verdadeira.

Passo 3

Analisando
xmid x^2=1=,xinZmid(x+1)(x-1)(2x+3)=0.
À esquerda, sem restrição de domínio, as soluções de x^2=1 são x=1 e x=-1.
À direita, x deve ser inteiro e satisfazer (x+1)(x-1)(2x+3)=0. As raízes são x=-1, x=1 e x=-tfrac32, mas este último não é inteiro.
Logo o lado direito é -1,1, igual ao lado esquerdo.
Portanto (b) é verdadeira.

Passo 4

Analisando
0=xmid 2x+10=3(x+4)-2.
Resolvendo a equação da direita:
2x+10 = 3(x+4)-2 = 3x+12 -2 = 3x+10
2x+10 = 3x+10 implies 2x=3x implies x=0
Assim o conjunto da direita é 0, que coincide com o da esquerda.
Portanto (c) é verdadeira.

Passo 5

Analisando
xmid x+7=7=xmid x^2<0.
No primeiro conjunto, x+7=7 x=0, logo é 0.
No segundo, x^2<0 não admite solução real (pois x^2>=0 para todo xinR), então é o conjunto vazio varnothing.
Como 0neqvarnothing, essa igualdade é falsa.

Passo 6

Analisando
1,2,4,8=xmid x=2^n e nin0,1,2,3.
Para nin0,1,2,3 temos 2^0=1, 2^1=2, 2^2=4 e 2^3=8.
Portanto o conjunto à direita é exatamente 1,2,4,8.
Logo (e) é verdadeira.

Resposta

As igualdades verdadeiras são
(a), (b), (c) e (e).

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