Sejam U, V e W espaços vetoriais e f: U V e g: V W transformações lineares. Se g circ f: U W é a função definida por (g circ f)(u)=g(f(u)), forall u in U, mostre que g circ f também é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado diz que U, V e W são espaços vetoriais, que
f:U to V e g:V to W
são transformações lineares, isto é, para todo u,u'in U, alphainK (campo base) valem
f(u+u')=f(u)+f(u'), f(alpha u)=alpha f(u),
e analogamente para g. Pede-se para mostrar que a composição
gcirc f:Uto W, (gcirc f)(u)=gl(f(u)r)
também satisfaz as propriedades de linearidade (adição e multiplicação por escalar).

Passo 2

Lembremos a definição de transformação linear. Uma aplicação
T:Xto Y
entre espaços vetoriais é linear se, para todo x,x'in X e todo escalar alpha, temos
T(x+x')=T(x)+T(x') e T(alpha x)=alpha,T(x)

Passo 3

Prova da aditividade de gcirc f. Seja u,u'in U. Então
(gcirc f)(u+u') = gl(f(u+u')r)
Como f é linear,
f(u+u')=f(u)+f(u')
Logo,
(gcirc f)(u+u') = gl(f(u)+f(u')r)
E como g é linear,
gl(f(u)+f(u')r) = gl(f(u)r)+gl(f(u')r) = (gcirc f)(u)+(gcirc f)(u')

Passo 4

Prova da homogeneidade de gcirc f. Seja alphainK e uin U. Então
(gcirc f)(alpha u) = gl(f(alpha u)r)
Como f é linear,
f(alpha u)=alpha,f(u)
Portanto,
(gcirc f)(alpha u) = gl(alpha,f(u)r)
E como g é linear,
gl(alpha,f(u)r) = alpha,gl(f(u)r) = alpha,(gcirc f)(u)

Resposta

Como gcirc f satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que gcirc f é uma transformação linear.

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