Sejam
e
espaços vetoriais e
e
transformações lineares. Se
é a função definida por
, mostre que
também é uma transformação linear.
Passo 1
O enunciado diz que
,
e
são espaços vetoriais, que
são transformações lineares, isto é, para todo
,
(campo base) valem
e analogamente para
. Pede-se para mostrar que a composição
também satisfaz as propriedades de linearidade (adição e multiplicação por escalar).
Passo 2
Lembremos a definição de transformação linear. Uma aplicação
entre espaços vetoriais é linear se, para todo
e todo escalar
, temos
Passo 3
Prova da aditividade de
. Seja
. Então
Como
é linear,
Logo,
E como
é linear,
Passo 4
Prova da homogeneidade de
. Seja
e
. Então
Como
é linear,
Portanto,
E como
é linear,
Resposta
Como
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que
é uma transformação linear.