Encontre a solução para o problema de valor inicial dado. Verifique que a função encontrada é de fato uma solução.
t y^prime-y=t^2 e^-t, y(1)=2, t>0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de valor inicial:
t y^prime - y = t^2 e^-t, y(1) = 2, t > 0
Nosso objetivo é encontrar a função $ y(t) $ que satisfaz essa equação e a condição inicial. Para resolver isso, vamos usar técnicas de equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Vamos começar colocando a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
y' + P(t) y = Q(t)
Para isso, dividimos toda a equação original por $ t $ (lembrando que $ t > 0 $):
t
Aqui, identificamos:
  • $ P(t) = -\frac{1}{t} $
  • $ Q(t) = t e^{-t} $

Passo 3

Em equações diferenciais lineares, usamos um fator integrante $ \mu(t) $ para facilitar a resolução. O fator integrante é dado por:
mu(t)
Vamos calcular $ \mu(t) $:
mu(t) = e^integral P(t) dt

Passo 4

Multiplicamos a equação diferencial inteira pelo fator integrante $ \mu(t) = \frac{1}{t} $:
mu(t) = 1t
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto $ \mu(t) y $:
1t y' - 1t^2 y = e^-t

Passo 5

Integramos ambos os lados da equação com respeito a $ t $:
t
Isso nos dá:
integral ddt ( yt ) dt = integral e^-t dt
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos $ y $ para encontrar a solução geral:
y

Passo 7

Aplicamos a condição inicial $ y(1) = 2 $ para encontrar o valor de $ C $:
y(1) = 2
Resolvendo para $ C $:
C

Passo 8

Substituímos $ C $ de volta na solução geral para obter a solução particular:
C

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = -t e^-t + (2 + e^-1) t

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