Encontre a solução para o problema de valor inicial dado. Verifique que a função encontrada é de fato uma solução.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de valor inicial:
Nosso objetivo é encontrar a função $ y(t) $ que satisfaz essa equação e a condição inicial. Para resolver isso, vamos usar técnicas de equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Vamos começar colocando a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Para isso, dividimos toda a equação original por $ t $ (lembrando que $ t > 0 $):
Aqui, identificamos:
- $ P(t) = -\frac{1}{t} $
- $ Q(t) = t e^{-t} $
Passo 3
Em equações diferenciais lineares, usamos um fator integrante $ \mu(t) $ para facilitar a resolução. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular $ \mu(t) $:
Passo 4
Multiplicamos a equação diferencial inteira pelo fator integrante $ \mu(t) = \frac{1}{t} $:
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto $ \mu(t) y $:
Passo 5
Integramos ambos os lados da equação com respeito a $ t $:
Isso nos dá:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Isolamos $ y $ para encontrar a solução geral:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial $ y(1) = 2 $ para encontrar o valor de $ C $:
Resolvendo para $ C $:
Passo 8
Substituímos $ C $ de volta na solução geral para obter a solução particular:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: