( abaixo, verifique se é um subespaço vetorial do espaço vetorial . No item em que o conjunto for subespaço, determine a sua dimensão. , sendo uma matriz fixada, .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
com fixada em , é subespaço de e, caso seja, determinar . O conteúdo envolve a noção de centralizador de uma matriz (conjunto de matrizes que comutam com ) e a resolução de um sistema linear para descobrir a dimensão desse conjunto.
Passo 2
Mostramos que é subespaço vetorial de . De fato, seja e . Como e , temos
e
Além disso, a matriz nula satisfaz . Logo, é subespaço de .
Passo 3
Para achar
e impomos . Isso gera o sistema linear em :
Cada equação é linear nas incógnitas .
Passo 4
Analisamos dois casos para T:
T=lambda I (ou seja p=s=lambda e q=r=0).
Todas as quatro equações ficam triviais (0=0), logo não há restrições em a,b,c,d. Assim dim W = 4, pois W=V.
Tneq lambda I.
Nesse caso ou pneq s ou pelo menos um de q,r é não nulo. De qualquer forma, o sistema impõe exatamente duas condições independentes sobre a,b,c,d. Por exemplo, se q=r=0 e pneq s vem b=0 e c=0; se qneq0 (bloco de Jordan) vem c=0 e a=d. Em todos esses subcasos resta liberdade em apenas dois parâmetros livres. Logo dim W = 2.
Resposta
W é subespaço de M(2,2). dim W =4 se e somente se T=lambda I; caso contrário, dim W=2.