( 1 , 0 p o n t o ) P a r a c a d a c o n j u n t o W subset V abaixo, verifique se é um subespaço vetorial do espaço vetorial V. No item em que o conjunto for subespaço, determine a sua dimensão.
W=A in M(2,2) ; A T=T A, sendo T uma matriz fixada, V=M(2,2).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = Ain M(2,2)mid A,T = T,A,
com T fixada em V=M(2,2), é subespaço de V e, caso seja, determinar dim W. O conteúdo envolve a noção de centralizador de uma matriz (conjunto de matrizes que comutam com T) e a resolução de um sistema linear para descobrir a dimensão desse conjunto.

Passo 2

Mostramos que W é subespaço vetorial de V. De fato, seja A,Bin W e alphainR. Como A,T=T,A e B,T=T,B, temos
(A+B),T = A,T + B,T = T,A + T,B = T,(A+B),
e
(alpha A),T = alpha,(A,T) = alpha,(T,A) = T,(alpha A)
Além disso, a matriz nula satisfaz 0cdot T = Tcdot 0. Logo, W é subespaço de V.

Passo 3

Para achar
e impomos . Isso gera o sistema linear em :
Cada equação é linear nas incógnitas .

Passo 4

Analisamos dois casos para T:
  1. T=lambda I (ou seja p=s=lambda e q=r=0).
    Todas as quatro equações ficam triviais ( 0=0), logo não há restrições em a,b,c,d. Assim dim W = 4, pois W=V.
  2. Tneq lambda I.
    Nesse caso ou pneq s ou pelo menos um de q,r é não nulo. De qualquer forma, o sistema impõe exatamente duas condições independentes sobre a,b,c,d. Por exemplo, se q=r=0 e pneq s vem b=0 e c=0; se qneq0 (bloco de Jordan) vem c=0 e a=d. Em todos esses subcasos resta liberdade em apenas dois parâmetros livres. Logo dim W = 2.

Resposta

W é subespaço de M(2,2).
dim W =4 se e somente se T=lambda I; caso contrário, dim W=2.

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