Considere a transformação linear T: R^3 R^2 definida por T(x, y, z)=(2 x+y, z+3 y). Calcule a representação matricial de T nas bases beta1=(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1) e beta2=(1,1),(1,2).

Passo 1

O enunciado pede a matriz de T:R^3toR^2, com
T(x,y,z)=(2x+y,;z+3y),
usando como base do domínio beta1=v1=(1,0,0),,v2=(1,1,0),,v3=(1,1,1) e como base do contra-domínio beta2=w1=(1,1),,w2=(1,2).
Para construir essa matriz, vamos calcular T(vj) e depois expressar cada T(vj) como combinação linear de w1 e w2.

Passo 2

Calcular as imagens dos vetores de beta1:
T(v1)=T(1,0,0)=(2cdot1+0,;0+3cdot0)=(2,0),
T(v2)=T(1,1,0)=(2cdot1+1,;0+3cdot1)=(3,3),
T(v3)=T(1,1,1)=(2cdot1+1,;1+3cdot1)=(3,4)

Passo 3

Para expressar um vetor genérico (u1,u2) em beta2, procuramos a,b tais que
a,w1+b,w2 = (u1,u2),
ou seja
a+b = u1, a+2b = u2
Subtraindo as equações vem
b = u2 - u1,
e então
a = u1 - b = u1 - (u2-u1) = 2u1 - u2

Passo 4

Aplicando ao caso de cada T(vj):
  • Para (u1,u2)=(2,0):
    b = 0-2 = -2, ;a = 2cdot2-0 = 4.
    Logo [T(v1)]beta2=(4,,-2)
  • Para (u1,u2)=(3,3):
    b = 3-3 = 0, ;a = 2cdot3-3 = 3.
    Logo [T(v2)]beta2=(3,,0)
  • Para (u1,u2)=(3,4):
    b = 4-3 = 1, ;a = 2cdot3-4 = 2.
    Logo [T(v3)]beta2=(2,,1)

Passo 5

A matriz de T em relação a beta1 e beta2 tem essas coordenadas como colunas:
[T]beta2,beta1 = 4 & 3 & 2 -2 & 0 & 1

Resposta

[T]beta2,beta1 = 4 & 3 & 2 -2 & 0 & 1

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