Seja T: R^3 R^3 a transformação linear que, na base beta=(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1) é representada por
[lll 1 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2 ]
Calcule T(x, y, z).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear Tcolon R^3toR^3 cuja matriz na base
beta = v1=(1,0,0),;v2=(1,1,0),;v3=(1,1,1)
é
[M]beta= 1 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2
Queremos achar T(x,y,z) nas coordenadas canônicas. Para isso vamos:
  1. escrever (x,y,z) em coordenadas de beta,
  2. aplicar a matriz [M]beta,
  3. converter o resultado de volta para as coordenadas padrões.

Passo 2

Seja . Em coordenadas canônicas isto dá
Logo
Assim as coordenadas de em são

Passo 3

Aplicando a matriz temos
Chamando , , .

Passo 4

Agora voltamos às coordenadas canônicas:
T(x,y,z)=d1v1+d2v2+d3v3 =(d1+d2+d3,;d2+d3,;d3)
Substituindo c1=x-y, c2=y-z, c3=z:
d1 = (x-y)+2(y-z)+z =2x+y, d2 = x-y, d3 = (y-z)+2z = y+z
Então
T(x,y,z)=(,d1+d2+d3,;d2+d3,;d3) =(,2x+y+(x-y)+(y+z),;(x-y)+(y+z),;y+z)
Fazendo as somas:
T(x,y,z)=(2x+y+x-y+y+z,;x-y+y+z,;y+z)=(2x+y,;x+z,;y+z)

Resposta

T(x,y,z) = l(2x+y,;x+z,;y+zr)

Exercícios relacionados