Se p é um natural e (xn) é uma sequência convergente, mostre que a sequência (xn^p) converge e possui o limite igual a (lim xn)^p. (Dica: Indução em p.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que, se $ p $ é um número natural e $ (x_n) $ é uma sequência que converge, então a sequência $ (x_n^p) $ também converge e o seu limite é $ (\lim x_n)^p $. Vamos usar indução em $ p $ para resolver isso. Ou seja, vamos provar que isso vale para $ p = 1 $ e depois assumir que vale para um $ p $ qualquer e mostrar que também vale para $ p + 1 $.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o caso base: $ p = 1 $. Nesse caso, $ x_n^1 = x_n $. Como $ (x_n) $ converge por hipótese, claramente $ (x_n^1) $ também converge e o limite é $ \lim x_n $, que é igual a $ (\lim x_n)^1 $. Então, o caso base está confirmado.

Passo 3

Agora, vamos supor que a afirmação vale para algum $ p = k $, ou seja, que se $ (x_n) $ converge para $ L $, então $ (x_n^k) $ converge para $ L^k $. Essa é a nossa hipótese de indução.

Passo 4

Precisamos mostrar que a afirmação também vale para $ p = k + 1 $. Observamos que:
p = k + 1
Sabemos pela hipótese de indução que $ x_n^k $ converge para $ L^k $ e, como $ (x_n) $ converge para $ L $, o produto de duas sequências convergentes também converge para o produto dos limites. Portanto:
xn^k+1 = xn^k cdot xn

Passo 5

Concluímos que, por indução, para todo $ p $ natural, se $ (x_n) $ converge para $ L $, então $ (x_n^p) $ converge para $ L^p $.

Resposta

Portanto, mostramos que a sequência $ (x_n^p) $ converge e que o seu limite é $ (\lim x_n)^p $.

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