Sejam (an) e (bn) sequências de números reais e, para cada n in N, seja tn in[0,1] um real fixado (isto é, tn é uma sequência no intervalo [0,1] ). Denote por (cn) a sequência definida por
cn=(1-tn)+tn bn,
para todo n in N. Mostre que se an, bn c, mostre que cn c

Passo 1

Primeiramente, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas sequências de números reais, (an) e (bn), que ambas convergem para um número c. Também temos uma sequência de números tn que estão sempre entre 0 e 1. A sequência (cn) é definida por:
cn = (1 - tn) an + tn bn
O objetivo é mostrar que, se (an) e (bn) convergem para c, então (cn) também converge para c. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de limites de sequências e propriedades das operações com limites.

Passo 2

Primeiro, lembramos que se uma sequência (xn) converge para L, então para qualquer número real k, a sequência k cdot xn converge para k cdot L. Além disso, se duas sequências (xn) e (yn) convergem para L e M respectivamente, então a sequência (xn + yn) converge para L + M.

Passo 3

Sabemos que (an) c e (bn) c. Isso significa que, para qualquer epsilon > 0, existe um número N tal que para todo n >= N, temos:
|an - c| < epsilon e |bn - c| < epsilon

Passo 4

Agora, analisamos a sequência cn = (1 - tn) an + tn bn. Queremos mostrar que cn c. Para isso, vamos reescrever cn de forma que possamos aplicar as propriedades dos limites que mencionamos.

Passo 5

Vamos manipular a expressão de cn:
cn = (1 - tn) an + tn bn = an + tn (bn - an)
Isso nos ajuda a ver que cn é uma combinação de an e da diferença entre bn e an, escalada por tn.

Passo 6

Como (an) c e (bn) c, a diferença bn - an tende a 0:
limn to infty (bn - an) = c - c = 0
Além disso, sabemos que tn in [0,1], então tn está limitado.

Passo 7

Utilizando a propriedade de que se (xn) 0 e (tn) é limitada, então (tnxn) 0, concluímos que:
limn to infty tn (bn - an) = 0

Passo 8

Dessa forma, temos:
limn to infty cn = limn to infty (an + tn (bn - an)) = limn to infty an + limn to infty tn (bn - an) = c + 0 = c

Resposta

Portanto, (cn) converge para c.

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