Sejam
e
sequências de números reais e, para cada
, seja
um real fixado (isto é,
é uma sequência no intervalo
). Denote por
a sequência definida por
para todo
. Mostre que se
, mostre que
Passo 1
Primeiramente, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas sequências de números reais,
e
, que ambas convergem para um número
. Também temos uma sequência de números
que estão sempre entre 0 e 1. A sequência
é definida por:
O objetivo é mostrar que, se
e
convergem para
, então
também converge para
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de limites de sequências e propriedades das operações com limites.
Passo 2
Primeiro, lembramos que se uma sequência
converge para
, então para qualquer número real
, a sequência
converge para
. Além disso, se duas sequências
e
convergem para
e
respectivamente, então a sequência
converge para
.
Passo 3
Sabemos que
e
. Isso significa que, para qualquer
, existe um número
tal que para todo
, temos:
Passo 4
Agora, analisamos a sequência
. Queremos mostrar que
. Para isso, vamos reescrever
de forma que possamos aplicar as propriedades dos limites que mencionamos.
Passo 5
Vamos manipular a expressão de
:
Isso nos ajuda a ver que
é uma combinação de
e da diferença entre
e
, escalada por
.
Passo 6
Como
e
, a diferença
tende a
:
Além disso, sabemos que
, então
está limitado.
Passo 7
Utilizando a propriedade de que se
e
é limitada, então
, concluímos que:
Passo 8
Dessa forma, temos:
Resposta
Portanto,
converge para
.