Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral S e P uma medida de probabilidade definida neste espaço. Sabendo-se que P(A)=0,7 e P(B)=0,6, determine o valor máximo e mínimo de P(A \cap B).

Passo 1

O enunciado dá dois eventos A e B num espaço amostral S com
P(A)=0,7 \quad\text{e}\quad P(B)=0,6
e pede os valores máximo e mínimo possíveis de P(A\cap B).
O que vamos usar são as desigualdades de Bonferroni e a fórmula de inclusão–exclusão:
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B),
além do fato de que P(A\cup B)\le1 e P(A\cap B)\ge0.

Passo 2

Para o valor máximo de P(A\cap B) basta notar que a interseção não pode ter probabilidade maior que cada evento isolado. Logo
P(A\cap B)\le P(A) \quad\text{e}\quad P(A\cap B)\le P(B),
então
P(A\cap B)\le \min\{P(A),P(B)\}=\min\{0,7,0,6\}=0,6.

Passo 3

Para o valor mínimo usamos que P(A\cup B)\le1. Pela inclusão–exclusão:
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\le1
\implies P(A\cap B)\ge P(A)+P(B)-1=0,7+0,6-1=0,3.
Como P(A\cap B) também não pode ser negativa, esse limite de 0,3 é o mínimo possível.

Resposta

Máximo de P(A\cap B)=0,6
Mínimo de P(A\cap B)=0,3

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