Obtenha soluções particulares das equações:
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=e^{2 x} x \sin (2 x).

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 5y' + 6y = e^{2x}\,x\sin(2x).
O conteúdo necessário é o método dos coeficientes indeterminados (ou método do fator expo-encial-complexo) para termos do tipo e^{\alpha x} vezes polinômio vezes \sin ou \cos.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da homogênea associada
y'' - 5y' + 6y = 0.
O polinômio característico é
r^2 - 5r + 6 = (r-2)(r-3)=0,
com raízes r=2 e r=3. Logo
y_h = C_1e^{2x} + C_2e^{3x}.

Passo 3

Para a parte particular, como o termo forçante é
e^{2x}\,x\sin(2x),
proponho o ansatz real
y_p = e^{2x}\bigl[(A x + B)\sin(2x) + (C x + D)\cos(2x)\bigr],
já que não há ressonância (os autovalores da homogênea são 2 e 3, não têm parte imaginária \pm2i).

Passo 4

Para simplificar os cálculos, uso o método complexo: observo
x\,e^{2x}\sin(2x)=\Im\bigl(x\,e^{(2+2i)x}\bigr).
Então busco uma solução complexa da forma
Y(x) = e^{(2+2i)x}(A x + B),
e depois tomarei y_p = \Im(Y).

Passo 5

Aplicando L[y]=y''-5y'+6y em Y=e^{rx}U(x) com r=2+2i e U(x)=Ax+B, usa-se a fórmula
L[Y] = e^{rx}\bigl(U'' + (2r-5)U' + (r^2-5r+6)U\bigr).
Aqui U'=A, U''=0. Calcula-se
r^2-5r+6 = (r-2)(r-3)\big|_{r=2+2i} = 2i\,(-1+2i) = -4 -2i,
2r-5 = 2(2+2i)-5 = -1 +4i.
Logo
L[Y] = e^{rx}\bigl[(-4-2i)A\,x + (-4-2i)B +(-1+4i)A\bigr].
Queremos L[Y]=x\,e^{rx}. Assim igualamos coeficientes de x e termo constante:
( -4-2i)A = 1\quad e \quad ( -4-2i)B +(-1+4i)A = 0.

Passo 6

Da primeira equação
A = \frac{1}{-4-2i} = -\frac{1}{5} + \frac{i}{10}.
Da segunda obtém-se
B = -\frac{(-1+4i)A}{-4-2i} = -\frac{(-1+4i)\bigl(-\tfrac15 + \tfrac{i}{10}\bigr)}{-4-2i} = -\frac{-2-9i}{10}\cdot\frac{4-2i}{20} = -\frac{13}{100} - \frac{4i}{25}.

Passo 7

Escrevendo A=a_1+ib_1 e B=a_2+ib_2, com
a_1=-\tfrac15,\;b_1=\tfrac1{10},\quad a_2=-\tfrac{13}{100},\;b_2=-\tfrac{4}{25},
temos
Y = e^{2x}e^{2ix}\bigl((a_1x+a_2)+i(b_1x+b_2)\bigr),
então
y_p = \Im(Y) = e^{2x}\bigl[(a_1x+a_2)\sin(2x) + (b_1x+b_2)\cos(2x)\bigr].
Substituindo a_i,b_i e simplificando:
y_p = \frac{e^{2x}}{100}\Bigl[(10x-16)\cos(2x) - (20x+13)\sin(2x)\Bigr].

Resposta

y_p(x) = \frac{e^{2x}}{100}\bigl[(10x-16)\cos(2x) - (20x+13)\sin(2x)\bigr].

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