Obtenha soluções particulares das equações: y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=e^{2 x} x \sin (2 x).
Passo 1
O enunciado pede uma solução particular da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 5y' + 6y = e^{2x}\,x\sin(2x).
O conteúdo necessário é o método dos coeficientes indeterminados (ou método do fator expo-encial-complexo) para termos do tipo e^{\alpha x} vezes polinômio vezes \sin ou \cos.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da homogênea associada
y'' - 5y' + 6y = 0.
O polinômio característico é
r^2 - 5r + 6 = (r-2)(r-3)=0,
com raízes r=2 e r=3. Logo
y_h = C_1e^{2x} + C_2e^{3x}.
Passo 3
Para a parte particular, como o termo forçante é
e^{2x}\,x\sin(2x),
proponho o ansatz real
y_p = e^{2x}\bigl[(A x + B)\sin(2x) + (C x + D)\cos(2x)\bigr],
já que não há ressonância (os autovalores da homogênea são 2 e 3, não têm parte imaginária \pm2i).
Passo 4
Para simplificar os cálculos, uso o método complexo: observo
x\,e^{2x}\sin(2x)=\Im\bigl(x\,e^{(2+2i)x}\bigr).
Então busco uma solução complexa da forma
Y(x) = e^{(2+2i)x}(A x + B),
e depois tomarei y_p = \Im(Y).
Passo 5
Aplicando L[y]=y''-5y'+6y em Y=e^{rx}U(x) com r=2+2i e U(x)=Ax+B, usa-se a fórmula