Prove que toda transformação linear A: V W transforma todo conjunto convexo C subset V em um conjunto convexo A(C) subset W.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, se A: Vto W é transformação linear e Csubset V é um conjunto convexo, então a imagem
A(C)=,A(x)mid xin C
é também convexa em W. O conteúdo envolve a definição de conjunto convexo e a propriedade de linearidade de A.

Passo 2

Lembrando a definição: um conjunto Csubset V é convexo se, para quaisquer x,yin C e qualquer tin[0,1], o ponto
tx + (1-t),y
pertence a C. Em outras palavras, todo segmento que liga dois pontos de C fica inteiramente dentro de C.

Passo 3

Tomemos agora dois pontos quaisquer na imagem, digamos
u, v in A(C)
Pela definição de A(C), existem x,yin C tais que
u = A(x) e v = A(y)
Queremos mostrar que, para qualquer tin[0,1], o ponto
t,u + (1-t),v
está em A(C). Usando linearidade de A, temos
t,u + (1-t),v = t,A(x) + (1-t),A(y) = Al(t,x + (1-t),yr)

Passo 4

Como C é convexo e x,yin C, o ponto
w = t,x + (1-t),y
pertence a C. Logo
A(w) = Al(t,x + (1-t),yr)
é um elemento de A(C). Mas vimos que
A(w) = t,u + (1-t),v,
ou seja, todo ponto entre u e v também está em A(C). Isso prova que A(C) é convexo.

Resposta

A imagem A(C) de um conjunto convexo C sob uma transformação linear A é convexa.

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