Prove que toda transformação linear
transforma todo conjunto convexo
em um conjunto convexo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, se
é transformação linear e
é um conjunto convexo, então a imagem
é também convexa em
. O conteúdo envolve a definição de conjunto convexo e a propriedade de linearidade de
.
Passo 2
Lembrando a definição: um conjunto
é convexo se, para quaisquer
e qualquer
, o ponto
pertence a
. Em outras palavras, todo segmento que liga dois pontos de
fica inteiramente dentro de
.
Passo 3
Tomemos agora dois pontos quaisquer na imagem, digamos
Pela definição de
, existem
tais que
Queremos mostrar que, para qualquer
, o ponto
está em
. Usando linearidade de
, temos
Passo 4
Como
é convexo e
, o ponto
pertence a
. Logo
é um elemento de
. Mas vimos que
ou seja, todo ponto entre
e
também está em
. Isso prova que
é convexo.
Resposta
A imagem
de um conjunto convexo
sob uma transformação linear
é convexa.