2, 2. (4 p) Quanto são energia, momento angular e componente
do momento angular de um elétron
num íon
(He é o segundo elemento do sistema periódico).
Passo 1
O enunciado dá um elétron no íon
(hélio ionizado uma vez) no estado rotulado por
e pede três coisas: a energia do elétron, o módulo do momento angular orbital e a componente
do momento angular orbital. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O íon
é um átomo hidrogenoide com número atômico . - A notação
indica o nível principal , subnível (ou seja ) e a orientação , que corresponde ao número magnético . - Precisamos entregar: energia
, valor do módulo do momento angular orbital e a componente .
Passo 2
Energia de um átomo hidrogenoide (fórmula e explicação didática).
- Para um átomo com um único elétron e núcleo de carga
(como ), os níveis de energia dependem só de e . A fórmula padrão é:
Aqui
é a energia do elétron no nível principal
,
é o número atômico (número de prótons no núcleo) e
é a energia do estado fundamental do hidrogênio (
em unidades de energia), ou seja a constante de escala (a chamada unidade de Rydberg vezes 2). Essa expressão vem da solução da equação de Schrödinger para o potencial coulombiano e é a forma prática que se usa em provas.
Passo 3
Cálculo da energia para
em
.
- Substituindo
e na fórmula:
- Calcule passo a passo:
. Então
- Arredondando razoavelmente (duas ou três casas significativas), podemos escrever
Passo 4
Converter a energia para joules (opcional, mas útil em muitos problemas).
- A relação é
. Então
- Fazendo a multiplicação (mostro o raciocínio, em prova você já pode escrever a forma e fazer a conta rápida):
Passo 5
Relembrando os operadores e autovalores do momento angular orbital (aulas rápidas).
- O momento angular orbital em mecânica quântica tem operadores
e com autovalores bem conhecidos:
- Aqui
é o número quântico azimutal (para temos ), é o número magnético com valores , e é a constante reduzida de Planck. O módulo do momento angular é o valor positivo dado por
porque
.
Passo 6
Aplicar ao estado
.
- Como dito no Passo 1,
corresponde a , e . (Justificativa: o subnível tem ; a designação representa a função angular proporcional a , portanto .) - Então o módulo do momento angular é
- Numericamente, usando
,
Passo 7
Componente
do momento angular.
- Pelo autovalor de
,
- Como para
temos , obtemos
- Observação didática: isso faz sentido fisicamente — o orbital
é simétrico em torno do eixo e não tem momento angular projetado naquele eixo.