2, 2. (4 p) Quanto são energia, momento angular e componente z do momento angular de um elétron 3 p_{z} num íon \mathrm{He}^{+}(He é o segundo elemento do sistema periódico).

Passo 1

O enunciado dá um elétron no íon \mathrm{He}^{+} (hélio ionizado uma vez) no estado rotulado por 3p_z e pede três coisas: a energia do elétron, o módulo do momento angular orbital e a componente z do momento angular orbital. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O íon \mathrm{He}^{+} é um átomo hidrogenoide com número atômico Z=2.
  • A notação 3p_z indica o nível principal n=3, subnível p (ou seja l=1) e a orientação p_z, que corresponde ao número magnético m=0.
  • Precisamos entregar: energia E, valor do módulo do momento angular orbital L e a componente L_z.

Passo 2

Energia de um átomo hidrogenoide (fórmula e explicação didática).
  • Para um átomo com um único elétron e núcleo de carga +Ze (como \mathrm{He}^{+}), os níveis de energia dependem só de n e Z. A fórmula padrão é:
E_n = -\,\frac{Z^{2} \, 13{,}6\\ \text{eV}}{n^{2}}.
Aqui E_n é a energia do elétron no nível principal n, Z é o número atômico (número de prótons no núcleo) e 13{,}6\\ \text{eV} é a energia do estado fundamental do hidrogênio ( R_{\infty} em unidades de energia), ou seja a constante de escala (a chamada unidade de Rydberg vezes 2). Essa expressão vem da solução da equação de Schrödinger para o potencial coulombiano e é a forma prática que se usa em provas.

Passo 3

Cálculo da energia para \mathrm{He}^{+} em n=3.
  • Substituindo Z=2 e n=3 na fórmula:
E_{3} = -\,\frac{2^{2}\cdot 13{,}6\\ \text{eV}}{3^{2}} = -\,\frac{4\cdot 13{,}6\\ \text{eV}}{9}.
  • Calcule passo a passo: 4\cdot 13{,}6 = 54{,}4. Então
E_{3} = -\,\frac{54{,}4}{9}\\ \text{eV} = -\,6{,}044\ldots\\ \text{eV}.
  • Arredondando razoavelmente (duas ou três casas significativas), podemos escrever
E_{3}\approx -\,6{,}04\\ \text{eV}.

Passo 4

Converter a energia para joules (opcional, mas útil em muitos problemas).
  • A relação é 1\\ \text{eV} = 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}. Então
E_{3}\approx -\,6{,}044444\ldots\\ \text{eV}\times 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J/eV}.
  • Fazendo a multiplicação (mostro o raciocínio, em prova você já pode escrever a forma e fazer a conta rápida):
E_{3}\approx -\,9{,}68\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Relembrando os operadores e autovalores do momento angular orbital (aulas rápidas).
  • O momento angular orbital em mecânica quântica tem operadores \hat{L}^2 e \hat{L}_z com autovalores bem conhecidos:
\hat{L}^{2}\ket{n,l,m} = \hbar^{2} l(l+1)\ket{n,l,m},
\hat{L}_{z}\ket{n,l,m} = \hbar m \ket{n,l,m}.
  • Aqui l é o número quântico azimutal (para s,p,d,\dots temos l=0,1,2,\dots), m é o número magnético com valores m\in\{-l,\dots,0,\dots,l\}, e \hbar é a constante reduzida de Planck. O módulo do momento angular L é o valor positivo dado por
L=\sqrt{l(l+1)}\,\hbar,
porque L^{2}=l(l+1)\hbar^{2}.

Passo 6

Aplicar ao estado 3p_z.
  • Como dito no Passo 1, 3p_z corresponde a n=3, l=1 e m=0. (Justificativa: o subnível p tem l=1; a designação p_z representa a função angular proporcional a Y_{1,0}(\theta,\varphi), portanto m=0.)
  • Então o módulo do momento angular é
L=\sqrt{l(l+1)}\,\hbar = \sqrt{1\cdot(1+1)}\,\hbar=\sqrt{2}\,\hbar.
  • Numericamente, usando \hbar\approx 1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},
L \approx \sqrt{2}\times 1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}\approx 1{,}49\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.

Passo 7

Componente z do momento angular.
  • Pelo autovalor de \hat{L}_z,
L_{z} = m\hbar.
  • Como para p_z temos m=0, obtemos
L_{z} = 0\cdot \hbar = 0.
  • Observação didática: isso faz sentido fisicamente — o orbital p_z é simétrico em torno do eixo z e não tem momento angular projetado naquele eixo.

Resposta

E_{3} \approx -\,6{,}04\\ \text{eV} \;(\approx -\,9{,}68\times10^{-19}\\ \mathrm{J})
L = \sqrt{2}\,\hbar \approx 1{,}49\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}
L_{z} = 0

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