2, 1. (4 p) Quanto são energia, momento angular e componente z do momento angular de um elétron 2 p_{z} num íon \mathrm{Li}^{++}( Li : é o terceiro elemento do sistema periódico).

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre um elétron no orbital 2p_{z} de um íon \mathrm{Li}^{++}:
  • a energia do elétron;
  • o momento angular (orbital) do elétron;
  • a componente z do momento angular orbital.
Informações relevantes dadas ou inferíveis:
  • \mathrm{Li}^{++} significa átomo de lítio com carga nuclear +3e e apenas um elétron (íon hidrogenoide), portanto podemos usar as fórmulas de átomo hidrogenoide com número atômico Z=3.
  • O estado 2p_{z} corresponde aos números quânticos principais e orbital: n=2, l=1. O sufixo z indica a função angular com momento magnético m=0 (isto é, 2p_{z} corresponde a m=0).
  • Variáveis constantes que usaremos: a energia fundamental do átomo de hidrogênio -13{,}6\\ \text{eV} para n=1 e a constante de Planck reduzida \hbar para momentos angulares.

Passo 2

Fórmula da energia para átomos hidrogenoides: a energia do nível com número quântico principal n é
E_n = -13{,}6\\ \text{eV}\,\frac{Z^{2}}{n^{2}}.
Aqui E_n é a energia do elétron no nível n (energias ligadas são negativas), Z é o número atômico (carga nuclear efetiva em unidades de e) e 13{,}6\\ \text{eV} é a energia de ionização do hidrogênio no nível fundamental. Explicando rápido por que essa fórmula vale: a solução da equação de Schrödinger para um potencial coulombiano -Ze^{2}/(4\pi\varepsilon_{0}r) dá níveis quantizados cuja energia depende de Z^{2}/n^{2}; a constante 13{,}6\\ \text{eV} vem do caso Z=1,n=1.
Substituindo Z=3 e n=2:
E_{2} = -13{,}6\\ \text{eV}\,\frac{3^{2}}{2^{2}} = -13{,}6\\ \text{eV}\,\frac{9}{4} = -13{,}6\cdot\frac{9}{4}\\ \text{eV}.
Calculemos numericamente:
-13{,}6\cdot\frac{9}{4} = -13{,}6\cdot2{,}25 = -30{,}6\\ \text{eV}.
Converter para joules (usa-se 1\\ \text{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \text{J}):
E_{2} = -30{,}6\\ \text{eV}\times1{,}602176634\times10^{-19}\\ \frac{\text{J}}{\text{eV}} = -4{,}90\times10^{-18}\\ \text{J}
(mais precisamente -4{,}90266\times10^{-18}\\ \text{J}); aqui vou arredondar para duas casas significativas em notação conveniente: -4{,}90\times10^{-18}\\ \text{J}.

Passo 3

Fórmula do momento angular orbital: os autovalores do operador \hat{L}^{2} são
\hat{L}^{2} \to L^{2} = l(l+1)\hbar^{2},
onde l é o número quântico azimutal (orbital) e \hbar é a constante de Planck reduzida. A magnitude do momento angular é
L = \sqrt{l(l+1)}\,\hbar.
Explicando: l pode assumir valores inteiros 0,1,2,\dots e cada valor determina o tamanho do vetor momento angular orbital pela relação acima; isso vem da solução angular da equação de Schrödinger (harmônicos esféricos).
Para o orbital 2p temos l=1. Portanto
L^{2} = 1\cdot(1+1)\hbar^{2} = 2\hbar^{2},
e
L = \sqrt{2}\,\hbar.
Vamos dar o valor numérico usando \hbar = 1{,}054571817\times10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s}:
L = \sqrt{2}\,\hbar \approx 1{,}41421356\times1{,}054571817\times10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s} \approx 1{,}49\times10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s}.
E
L^{2} = 2\hbar^{2} \approx 2{,}22\times10^{-68}\\ \text{J}^{2}\cdot\text{s}^{2}.

Passo 4

Componente z do momento angular orbital: os autovalores do operador \hat{L}_{z} são
\hat{L}_{z} \to L_{z} = m\hbar,
onde m é o número quântico magnético que varia entre -l,-l+1,\dots,l. O orbital 2p_{z} corresponde ao harmônico esférico com m=0 (a função angular é proporcional a \cos\theta, orientada ao longo do eixo z), então
L_{z} = 0\cdot\hbar = 0.
Isto quer dizer que a componente z do momento angular orbital é exatamente zero para o estado 2p_{z}.

Resposta

Energia: -30{,}6\\ \text{eV} = -4{,}90\times10^{-18}\\ \text{J}
Momento angular (orbital): L^{2}=2\hbar^{2}, portanto L=\sqrt{2}\,\hbar \approx 1{,}49\times10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s}
Componente z do momento angular: L_{z}=0

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