2, 1. (4 p) Quanto são energia, momento angular e componente
do momento angular de um elétron
num íon
( Li : é o terceiro elemento do sistema periódico).
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre um elétron no orbital
de um íon
:
- a energia do elétron;
- o momento angular (orbital) do elétron;
- a componente
do momento angular orbital.
Informações relevantes dadas ou inferíveis:
-
significa átomo de lítio com carga nuclear e apenas um elétron (íon hidrogenoide), portanto podemos usar as fórmulas de átomo hidrogenoide com número atômico . - O estado
corresponde aos números quânticos principais e orbital: , . O sufixo indica a função angular com momento magnético (isto é, corresponde a ). - Variáveis constantes que usaremos: a energia fundamental do átomo de hidrogênio
para e a constante de Planck reduzida para momentos angulares.
Passo 2
Fórmula da energia para átomos hidrogenoides: a energia do nível com número quântico principal
é
Aqui
é a energia do elétron no nível
(energias ligadas são negativas),
é o número atômico (carga nuclear efetiva em unidades de
) e
é a energia de ionização do hidrogênio no nível fundamental. Explicando rápido por que essa fórmula vale: a solução da equação de Schrödinger para um potencial coulombiano
dá níveis quantizados cuja energia depende de
; a constante
vem do caso
.
Substituindo
e
:
Calculemos numericamente:
Converter para joules (usa-se
):
(mais precisamente
); aqui vou arredondar para duas casas significativas em notação conveniente:
.
Passo 3
Fórmula do momento angular orbital: os autovalores do operador
são
onde
é o número quântico azimutal (orbital) e
é a constante de Planck reduzida. A magnitude do momento angular é
Explicando:
pode assumir valores inteiros
e cada valor determina o tamanho do vetor momento angular orbital pela relação acima; isso vem da solução angular da equação de Schrödinger (harmônicos esféricos).
Para o orbital
temos
. Portanto
e
Vamos dar o valor numérico usando
:
E
Passo 4
Componente
do momento angular orbital: os autovalores do operador
são
onde
é o número quântico magnético que varia entre
. O orbital
corresponde ao harmônico esférico com
(a função angular é proporcional a
, orientada ao longo do eixo
), então
Isto quer dizer que a componente
do momento angular orbital é exatamente zero para o estado
.
Resposta
Energia:
Momento angular (orbital):
, portanto
Componente
do momento angular: