1, 2. ( 9 p) Considere o potencial de um elétron num poço quadrado infinito, centrado em x=0: V(x)=0 para -L / 2<x<L / 2, e \infty fora desta faixa. Mostre, que a função de onda \psi(x)=A \cdot \cos \frac{3 \pi x}{L} para -L / 2<x<L / 2, e 0 fora desta faixa, satisfaz a equação de Schrödinger e as condições de contorno. Quanto é a energia do elétron? Normalize a função de onda, isto é, determine a constante A. Dica: a primitiva de \cos ^{2} x é \frac{1}{2}(x+\operatorname{sen} x \cdot \cos x).
Passo 1
O enunciado dá o potencial e a função de onda e pede três coisas. Dados e perguntas (na íntegra):
V(x)=\begin{cases} 0, & -L/2 < x < L/2,\\[4pt] \infty, & \text{fora dessa faixa}, \end{cases}
Mostrar que \psi(x) satisfaz a equação de Schrödinger (no poço, onde V=0) e as condições de contorno;
Determinar a energia do elétron;
Normalizar \psi(x), isto é, determinar a constante A.
Nada mais será assumido — vamos provar cada passo com contas detalhadas.]
Passo 2
Calculando as derivadas de \psi(x) para usar na equação de Schrödinger. Definimos a constante
k=\frac{3\pi}{L}.
A função dentro do poço é \psi(x)=A\cos(kx). Usamos a regra da cadeia para derivar:
\psi'(x)=A\cdot\frac{d}{dx}\cos(kx)=A\cdot(-\sin(kx))\cdot k = -Ak\sin(kx).
Derivando de novo,
\psi''(x)=\frac{d}{dx}\big(-Ak\sin(kx)\big) = -Ak\cdot\cos(kx)\cdot k = -Ak^2\cos(kx).
Como \psi(x)=A\cos(kx), podemos escrever
\psi''(x) = -k^2 \psi(x).
Essas expressões foram obtidas passo a passo aplicando a regra da cadeia (derivada de \cos é -\sin, e derivada de \sin é \cos), e substituindo k=\dfrac{3\pi}{L}.
Passo 3
Agora colocamos \psi''(x) na equação de Schrödinger estacionária no interior do poço, onde V(x)=0. A equação é
Isso mostra explicitamente que \psi(x) é autoestado de energia com o valor acima.
Passo 4
Verificação das condições de contorno. Para o poço infinito as condições exigidas são: \psi deve ser finita dentro do poço e deve anular-se nas paredes x=\pm L/2 (pois fora o potencial é infinito, a função deve ser zero ali).
Avaliamo-la nas paredes:
Sabemos que \cos\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=0. Portanto \psi(\pm L/2)=0. Fora do intervalo (-L/2,L/2) a função foi definida como zero no enunciado, então é contínua nas fronteiras e satisfaz as condições de contorno do poço infinito. (A derivada pode ser descontínua na fronteira por causa do potencial infinito, mas isso é aceitável para poço infinito; o que importa é que \psi é zero nas paredes.)
Passo 5
Normalização: exigir \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^2\,dx=1. Como \psi(x)=0 fora de [-L/2,L/2], temos
Avaliamo-a entre os limites. Primeiro observação: em t=\pm 3\pi/2 temos \cos(\pm 3\pi/2)=0, logo o termo \sin t\cos t vale zero em ambos os limites. Portanto
Escolhemos a fase de A para ser real e positiva (padrão usual). Assim
A=\sqrt{\frac{2}{L}}.
Resumo do que provamos: \psi(x)=\sqrt{\tfrac{2}{L}}\cos\!\left(\tfrac{3\pi x}{L}\right) (dentro do poço) satisfaz a equação de Schrödinger com energia E=\dfrac{9\pi^2\hbar^2}{2mL^2}, satisfaz as condições de contorno nas paredes e está normalizada.