P 5.3. Seja P o plano no espaço tridimensional que tem por equação 3 x+2 y+z= 6. Qual a equação do plano P0 paralelo a P que passa pela origem? P e P0 são subespaços de R^3 ?

Passo 1

O enunciado dá o plano P definido por
3x+2y+z=6
e pede duas coisas: (i) a equação do plano P0 paralelo a P que passa pela origem; (ii) verificar se P e P0 são subespaços de R^3.
Conteúdo: geometria analítica no espaço (planos afins e subespaços vetoriais).

Passo 2

Para achar um plano paralelo a P, basta manter o mesmo vetor normal. Da equação de P vemos que o vetor normal é
n = (3,2,1)

Passo 3

Um plano com normal n=(3,2,1) que passa pela origem (0,0,0) tem equação
3x+2y+z=0
Esse é o plano P0.

Passo 4

Lembrando que um subconjunto SsubseteqR^3 é subespaço vetorial se e só se contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar.
  • O plano P dado por 3x+2y+z=6 não contém a origem (0,0,0), pois 3cdot0+2cdot0+0neq6. Logo P não é subespaço.
  • O plano P0 dado por 3x+2y+z=0 contém a origem e é definido por uma equação homogênea, garantindo fechamento. Logo P0 é subespaço de R^3.

Resposta

Equação de P0:
3x+2y+z=0
P não é subespaço de R^3, enquanto P0 é subespaço de R^3.

Exercícios relacionados