P 6.3. Para cada um dos seguintes conjuntos
de funções reais, seja
o conjunto formado pelas derivadas de todas as ordens dessas funções (incluindo ordem 0, ou seja as próprias funções de
). Diga qual a dimensão de
e, no caso de essa dimensão ser finita, indique, justificando, uma base do espaço.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e define
isto é, inclui
e todas as suas derivadas de ordem
. Precisamos encontrar a dimensão de
(o espaço gerado por
) e, se for finita, dar uma base.
Passo 2
Vamos calcular a derivada de ordem
de
. Por indução ou pela regra da cadeia, tem-se:
Passo 3
Cada elemento de
é da forma
. Como
é apenas um escalar real, todos esses elementos estão no espaço gerado por
. Logo,
que é um espaço unidimensional pois
é não-nulo.
Passo 4
Concluímos que
e que uma base natural é
.