P 6.3. Para cada um dos seguintes conjuntos F de funções reais, seja G o conjunto formado pelas derivadas de todas as ordens dessas funções (incluindo ordem 0, ou seja as próprias funções de F ). Diga qual a dimensão de L(G) e, no caso de essa dimensão ser finita, indique, justificando, uma base do espaço.
F=e^-t,(t in R)

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
F = e^-t,
e define
G = todas as derivadas de todas as ordens de funções em F, çõ
isto é, inclui e^-t e todas as suas derivadas de ordem n>=0. Precisamos encontrar a dimensão de L(G) (o espaço gerado por G) e, se for finita, dar uma base.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de ordem n de e^-t. Por indução ou pela regra da cadeia, tem-se:
d^ndt^ne^-t = (-1)^n e^-t

Passo 3

Cada elemento de G é da forma (-1)^n e^-t. Como (-1)^n é apenas um escalar real, todos esses elementos estão no espaço gerado por e^-t. Logo,
L(G) = span,e^-t,
que é um espaço unidimensional pois e^-t é não-nulo.

Passo 4

Concluímos que dim L(G)=1 e que uma base natural é e^-t.

Resposta

dim L(G)=1, com base e^-t.

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