Seja V o espaço vetorial formado por todas as retas no plano R^2. Seja W=L in V / L=a x onde a in R um subconjunto de V, então mostre que W é um subespaço vetorial de V.

Passo 1

O enunciado define V como o espaço vetorial cujos elementos são todas as funções afim do tipo
f(x)=m x + b, m,binR,
com as operações de soma e produto escalar definidas ponto a ponto:
(f+g)(x)=f(x)+g(x), (alpha f)(x)=alpha,f(x)
O subconjunto Wsubset V é dado por
W = ,Lin V : L(x)=a x para algum ainR,
isto é, as funções afim cujo coeficiente constante é zero. Para mostrar que W é subespaço de V, basta verificar:
  1. o vetor zero de V está em W;
  2. W é fechado sob soma;
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero de V é a função
0V(x)=0cdot x + 0 = 0
Como 0V(x)=0cdot x, ela corresponde ao caso a=0 e portanto 0Vin W.

Passo 3

Pegue quaisquer duas retas em W, dadas por
L1(x)=a1 x e L2(x)=a2 x,
com a1,a2inR. Então a soma em V é
(L1+L2)(x) = L1(x)+L2(x) = a1 x + a2 x = (a1 + a2),x,
que também é da forma ax com a=a1+a2. Logo L1+L2in W, mostrando a fechadura de W sob adição.

Passo 4

Agora tome alphainR e L(x)=a,xin W. O produto escalar em V é
(alpha L)(x) = alpha,L(x) = alpha,(a x) = (alpha a),x,
que permanece uma função da forma bx com b=alpha a. Assim alpha Lin W, mostrando a fechadura de W sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como W contém o vetor zero de V e é fechado sob soma e produto escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de V.

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