Seja
o espaço vetorial formado por todas as retas no plano
. Seja
onde
um subconjunto de
, então mostre que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado define
como o espaço vetorial cujos elementos são todas as funções afim do tipo
com as operações de soma e produto escalar definidas ponto a ponto:
O subconjunto
é dado por
isto é, as funções afim cujo coeficiente constante é zero. Para mostrar que
é subespaço de
, basta verificar:
- o vetor zero de
está em ; -
é fechado sob soma; -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que o vetor zero de
é a função
Como
, ela corresponde ao caso
e portanto
.
Passo 3
Pegue quaisquer duas retas em
, dadas por
com
. Então a soma em
é
que também é da forma
com
. Logo
, mostrando a fechadura de
sob adição.
Passo 4
Agora tome
e
. O produto escalar em
é
que permanece uma função da forma
com
. Assim
, mostrando a fechadura de
sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero de
e é fechado sob soma e produto escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.