P 2.7. a) Sejam A, B matrizes tais que está definido o produto matricial A B. Mostre que (A B)^T=B^T A^T. (sug.: deve mostrar que ((A B)^T)i j=(B^T A^T)i j para todos os i, j).
b) Se Aj(j=1,2, cdots, n) são matrizes tais que o produto A1 A2 cdots An está definido, qual a expressão de (A1 A2 cdots An)^T em função de A1^T, A2^T, cdots, An^T ?

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para matrizes A e B com produto definido, vale
(AB)^T=B^TA^T,
usando a definição de transposta l(M^Tr)ij=Mji e a definição de multiplicação de matrizes. Na parte b) generalizamos para n fatores.

Passo 2

Seja A de tamanho mtimes p e B de tamanho ptimes n. Então AB é mtimes n e (AB)^T é ntimes m. Para provar a igualdade, basta mostrar que para todo iin1,dots,n e jin1,dots,m temos
l((AB)^Tr)ij=l(B^TA^Tr)ij

Passo 3

Pela definição de transposta,
l((AB)^Tr)ij=(AB)ji
E pela definição de produto matricial,
(AB)ji=sumk=1^pAj k,Bk i

Passo 4

Agora calculamos o (i,j)-ésimo de B^TA^T. Como B^T é ntimes p e A^T é ptimes m,
l(B^TA^Tr)ij =sumk=1^pB^Ti k,A^Tk j =sumk=1^pBk i,Aj k

Passo 5

Observamos que em sumk=1^pAj k,Bk i e em sumk=1^pBk i,Aj k apenas trocamos a ordem dos fatores dentro do somatório, o que não altera o valor da soma. Portanto
l((AB)^Tr)ij =sumk=1^pAj k,Bk i =sumk=1^pBk i,Aj k =l(B^TA^Tr)ij

Passo 6

Como vale a igualdade de cada entrada (i,j), concluímos que
(AB)^T=B^TA^T

Passo 7

Para o produto de n matrizes A1A2cdots An, aplicamos repetidamente a propriedade do passo anterior e obtemos por indução ou simples iteração:
l(A1A2cdots Anr)^T = An^T,An-1^T,cdots A2^T,A1^T

Resposta

a) (AB)^T=B^TA^T
b) (A1A2cdots An)^T=An^TAn-1^Tcdots A2^TA1^T

Exercícios relacionados