P 2.7. a) Sejam
matrizes tais que está definido o produto matricial
. Mostre que
. (sug.: deve mostrar que
para todos os
.
b) Se
são matrizes tais que o produto
está definido, qual a expressão de
em função de
?
b) Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para matrizes
e
com produto definido, vale
usando a definição de transposta
e a definição de multiplicação de matrizes. Na parte b) generalizamos para
fatores.
Passo 2
Seja
de tamanho
e
de tamanho
. Então
é
e
é
. Para provar a igualdade, basta mostrar que para todo
e
temos
Passo 3
Pela definição de transposta,
E pela definição de produto matricial,
Passo 4
Agora calculamos o
-ésimo de
. Como
é
e
é
,
Passo 5
Observamos que em
e em
apenas trocamos a ordem dos fatores dentro do somatório, o que não altera o valor da soma. Portanto
Passo 6
Como vale a igualdade de cada entrada
, concluímos que
Passo 7
Para o produto de
matrizes
, aplicamos repetidamente a propriedade do passo anterior e obtemos por indução ou simples iteração:
Resposta
a)
b)
b)