P 9.8. Um senhor comprou, no princípio de um mês, um par de coelhos para a sua filha Inês. No fim do segundo mês havia três coelhos; no fim do terceiro mês havia cinco; e, em geral, no final do mês o número de coelhos é a soma dos coelhos dos dois meses anteriores.
a) Designando número de coelhos da Inês no fim do n-ésimo mês por , tem-se pois que . Mostre que
b) Calcule \[\left[ \right]^{n}\left[ \right]], onde e é um inteiro positivo.

Passo 1

O enunciado trata da sequência de Fibonacci definida por
com condições iniciais , . Queremos mostrar que ela pode ser gerada por potências da matriz
aplicadas ao vetor inicial . No item (a) provamos
e no item (b) calculamos a ação de sobre um vetor arbitrário .

Passo 2

Primeiro note que, usando a definição de , temos
Ou seja, multiplicar por desloca o par de termos para .

Passo 3

Agora façamos indução sobre :
Base .
pois e , e na convenção usual de Fibonacci .
Passo indutivo. Suponha
Então
completando a indução.

Passo 4

O que provamos na indução foi
Bastando trocar por , obtemos exatamente
que era o que se pedia no item (a).

Passo 5

Para o item (b) basta usar o fato bem conhecido de que
onde são os Fibonacci com , . Então, para um vetor genérico surge

Resposta

onde é o -ésimo número de Fibonacci.

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