P 9.8. Um senhor comprou, no princípio de um mês, um par de coelhos para a sua filha Inês. No fim do segundo mês havia três coelhos; no fim do terceiro mês havia cinco; e, em geral, no final do mês o número de coelhos é a soma dos coelhos dos dois meses anteriores.
a) Designando número de coelhos da Inês no fim do n-ésimo mês por , tem-se pois que . Mostre que
b) Calcule \[\left[\right]^{n}\left[\right]], onde e é um inteiro positivo.
Passo 1
O enunciado trata da sequência de Fibonacci definida por
com condições iniciais , . Queremos mostrar que ela pode ser gerada por potências da matriz
aplicadas ao vetor inicial . No item (a) provamos
e no item (b) calculamos a ação de sobre um vetor arbitrário .
Passo 2
Primeiro note que, usando a definição de , temos
Ou seja, multiplicar por desloca o par de termos para .
Passo 3
Agora façamos indução sobre :
Base .
pois e , e na convenção usual de Fibonacci .
Passo indutivo. Suponha
Então
completando a indução.
Passo 4
O que provamos na indução foi
Bastando trocar por , obtemos exatamente
que era o que se pedia no item (a).
Passo 5
Para o item (b) basta usar o fato bem conhecido de que
onde são os Fibonacci com , . Então, para um vetor genérico surge