2 (2,0 pts.) Dê exemplo de uma aplicação linear como a que se pede em cada caso.
T: R^2 R^3 injetiva;

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
Tcolon R^2 to R^3
que seja injetiva. Do conteúdo de espaços vetoriais, sabemos que uma aplicação linear é injetiva se, e somente se, seu núcleo (kernel) for trivial, isto é,
ker(T)=(0,0)
Vamos usar esse critério para construir e verificar um exemplo.

Passo 2

Definimos
T(x,y) = (x,,y,,0)
  1. (Linearidade) Para vetores u=(x1,y1) e v=(x2,y2) e escalar c, temos
T(u+v)=T(x1+x2,;y1+y2)=(x1+x2,;y1+y2,;0)=(x1,y1,0)+(x2,y2,0)=T(u)+T(v),
T(c,u)=T(c,x1,c,y1)=(c,x1,c,y1,0)=c,(x1,y1,0)=c,T(u)
Logo T é linear.
2. (Injetividade) Se T(x,y)=(0,0,0), então x=0 e y=0. Assim
ker(T)=(x,y)mid T(x,y)=(0,0,0)=(0,0),
o que garante que T é injetiva.

Resposta

Uma aplicação linear injetiva é
T(x,y)=(x,y,0)

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