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Calcular a derivada da função pela definição de derivada.
Passo 1
O exercício pede para calcular a derivada de f(x)=√(8−x)+x² usando a definição de derivada. O conteúdo principal é derivada pelo limite do quociente incremental, e vamos precisar usar técnicas de racionalização para lidar com a raiz.
Passo 2
Começamos escrevendo a definição de derivada pelo limite do quociente incremental:
Passo 3
Calculamos f(x+h) e montamos o quociente: temos f(x+h)=√(8−(x+h))+(x+h)². Assim,
Passo 4
Separamos em duas parcelas: uma com a parte quadrática e outra com a parte radical. Para a parte quadrática,
e fazendo h→0 ficamos com 2x.
Passo 5
Para a parte radical, racionalizamos:
Fazendo o limite h→0 na parte racionalizada, obtemos
Passo 6
Somando as duas contribuições, a derivada fica f’(x)=2x - 1/(2√(8−x)).
Resposta
f’(x)=2x - \frac{1}{2√{8−x}}