( 2 , 0 p t o s) Calcular a derivada da função pela definição de derivada.
f(x)=raiz8-x+x^2

Passo 1

O exercício pede para calcular a derivada de f(x)=√(8−x)+x² usando a definição de derivada. O conteúdo principal é derivada pelo limite do quociente incremental, e vamos precisar usar técnicas de racionalização para lidar com a raiz.

Passo 2

Começamos escrevendo a definição de derivada pelo limite do quociente incremental:
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h

Passo 3

Calculamos f(x+h) e montamos o quociente: temos f(x+h)=√(8−(x+h))+(x+h)². Assim,
f(x+h)-f(x)h=l(√(8−x−h)-√(8−x)r)+l((x+h)²-x²r)h ²²

Passo 4

Separamos em duas parcelas: uma com a parte quadrática e outra com a parte radical. Para a parte quadrática,
(x+h)²-x²h=x²+2xh+h²-x²h=2x+h ²²²²²
e fazendo h→0 ficamos com 2x.

Passo 5

Para a parte radical, racionalizamos:
√(8−x−h)-√(8−x)hcdot√(8−x−h)+√(8−x)√(8−x−h)+√(8−x) =(8−x−h)-(8−x)hl(√(8−x−h)+√(8−x)r) =-hhl(√(8−x−h)+√(8−x)r) =-1√(8−x−h)+√(8−x)
Fazendo o limite h→0 na parte racionalizada, obtemos
-12√(8−x)

Passo 6

Somando as duas contribuições, a derivada fica f’(x)=2x - 1/(2√(8−x)).

Resposta

f’(x)=2x - \frac{1}{2√{8−x}}

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