(2,0 ptos) Demonstre que a função é uma função ímpar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a função $ f(x) = \ln \left(6x + \sqrt{1 + 36x^{2}}\right) $ é uma função ímpar. Isso está relacionado ao estudo de funções pares e ímpares na matemática, mais especificamente em álgebra. Para resolver isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma função ímpar e aplicar essa definição à função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função ímpar. Uma função $ f $ é ímpar se, para todo $ x $ no domínio da função, a seguinte igualdade vale:
f
Ou seja, se substituirmos $ x $ por $ -x $ na função e o resultado for o oposto de $ f(x) $, então a função é ímpar.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função. Vamos calcular $ f(-x) $:
f(-x)
Simplificando dentro do logaritmo:
f(-x) = ln (6(-x) + raiz1 + 36(-x)^2)

Passo 4

Observamos que $ \sqrt{1 + 36x^{2}} $ é sempre positivo, porque a raiz quadrada de qualquer número positivo é positiva. Então, podemos reescrever:
raiz1 + 36x^2
Agora, vamos comparar isso com $ -f(x) $:
f(-x) = ln (raiz1 + 36x^2 - 6x)
Para que $ f(-x) = -f(x) $, precisamos mostrar que:
-f(x)

Passo 5

Lembrando das propriedades dos logaritmos, sabemos que:
ln(a) = -ln(1a)
Então, se mostrarmos que:
raiz1 + 36x^2 - 6x = 16x + raiz1 + 36x^2
então a igualdade anterior estará provada.

Passo 6

Vamos verificar essa igualdade. Multiplicando os dois lados por $ 6x + \sqrt{1 + 36x^{2}} $:
6x + raiz1 + 36x^2
Usando a identidade $ (a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2} $:
(raiz1 + 36x^2 - 6x)(6x + raiz1 + 36x^2) = 1
Então, a igualdade está correta.

Resposta

Portanto, mostramos que $ f(-x) = -f(x) $, o que confirma que a função $ f(x) = \ln \left(6x + \sqrt{1 + 36x^{2}}\right) $ é uma função ímpar.

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