(2,0 ptos) Demonstre que a função
é uma função ímpar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a função $ f(x) = \ln \left(6x + \sqrt{1 + 36x^{2}}\right) $ é uma função ímpar. Isso está relacionado ao estudo de funções pares e ímpares na matemática, mais especificamente em álgebra. Para resolver isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma função ímpar e aplicar essa definição à função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função ímpar. Uma função $ f $ é ímpar se, para todo $ x $ no domínio da função, a seguinte igualdade vale:
Ou seja, se substituirmos $ x $ por $ -x $ na função e o resultado for o oposto de $ f(x) $, então a função é ímpar.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função. Vamos calcular $ f(-x) $:
Simplificando dentro do logaritmo:
Passo 4
Observamos que $ \sqrt{1 + 36x^{2}} $ é sempre positivo, porque a raiz quadrada de qualquer número positivo é positiva. Então, podemos reescrever:
Agora, vamos comparar isso com $ -f(x) $:
Para que $ f(-x) = -f(x) $, precisamos mostrar que:
Passo 5
Lembrando das propriedades dos logaritmos, sabemos que:
Então, se mostrarmos que:
então a igualdade anterior estará provada.
Passo 6
Vamos verificar essa igualdade. Multiplicando os dois lados por $ 6x + \sqrt{1 + 36x^{2}} $:
Usando a identidade $ (a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2} $:
Então, a igualdade está correta.
Resposta
Portanto, mostramos que $ f(-x) = -f(x) $, o que confirma que a função $ f(x) = \ln \left(6x + \sqrt{1 + 36x^{2}}\right) $ é uma função ímpar.