( 2 , 0 p t o s) Considere a curva,
y+sen(5 x y)=x
Sabe-se que y=f(x) é uma função definida implicitamente. Encontrar a derivada implícita, a inclinação da reta tangente e a equação da reta tangente a esta curva no ponto .
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Passo 1

O enunciado nos dá a curva definida implicitamente por y + sen(5xy) = x, pede para usar diferenciação implícita para encontrar y′ = f ′(x), depois calcular a inclinação da reta tangente no ponto (0,0) e, por fim, escrever a equação dessa reta.

Passo 2

Vamos derivar ambos os lados de y + sen(5xy) = x em relação a x. Para isso, lembramos que ao derivar sen(u) temos cos(u)·u′, e que 5xy é um produto de x por y(x).

Passo 3

Derivando cada termo: a derivada de y em relação a x é y′; a de sen(5xy) é cos(5xy)·(5·(x·y′ + y·1)); e a de x é 1. Assim:
y + cos(5xy)cdot5l(xy + yr) = 1

Passo 4

Agora isolamos y′. Expandindo o segundo termo: 5cos(5xy)·xy′ + 5y cos(5xy). Agrupando os termos com y′ do lado esquerdo:
y + 5xcos(5xy),y = 1 - 5ycos(5xy)

Passo 5

Fatorando y′:
yl(1 + 5xcos(5xy)r) = 1 - 5ycos(5xy),
portanto
y = 1 - 5ycos(5xy)1 + 5xcos(5xy)

Passo 6

Para achar a inclinação no ponto (0,0), substituímos x=0 e y=0:
cos(5·0·0)=cos(0)=1, logo
y(0) = 1 - 5·0·11 + 5·0·1 = 11 = 1

Passo 7

Finalmente, a reta tangente no ponto (0,0) com inclinação m=1 é dada por:
y - 0 = 1,(x - 0),
o que simplifica para y = x.

Resposta

Derivada implícita: y' = 1 - 5ycos(5xy)1 + 5xcos(5xy); inclinação em (0,0): m = 1; reta tangente: y = x.

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