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Considere a curva,
Sabe-se que
é uma função definida implicitamente. Encontrar a derivada implícita, a inclinação da reta tangente e a equação da reta tangente a esta curva no ponto
.
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Passo 1
O enunciado nos dá a curva definida implicitamente por y + sen(5xy) = x, pede para usar diferenciação implícita para encontrar y′ = f ′(x), depois calcular a inclinação da reta tangente no ponto (0,0) e, por fim, escrever a equação dessa reta.
Passo 2
Vamos derivar ambos os lados de y + sen(5xy) = x em relação a x. Para isso, lembramos que ao derivar sen(u) temos cos(u)·u′, e que 5xy é um produto de x por y(x).
Passo 3
Derivando cada termo: a derivada de y em relação a x é y′; a de sen(5xy) é cos(5xy)·(5·(x·y′ + y·1)); e a de x é 1. Assim:
Passo 4
Agora isolamos y′. Expandindo o segundo termo: 5cos(5xy)·xy′ + 5y cos(5xy). Agrupando os termos com y′ do lado esquerdo:
Passo 5
Fatorando y′:
portanto
Passo 6
Para achar a inclinação no ponto (0,0), substituímos x=0 e y=0:
cos(5·0·0)=cos(0)=1, logo
cos(5·0·0)=cos(0)=1, logo
Passo 7
Finalmente, a reta tangente no ponto (0,0) com inclinação m=1 é dada por:
o que simplifica para y = x.
Resposta
Derivada implícita:
; inclinação em (0,0):
; reta tangente:
.