(1 2 , 0 p tos) Calcular as integrais seguintes utilizando o método apropriado:
(6,0 ptos ) integral 5 x-3(x-3)(x-2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral 5x - 3(x - 3)(x - 2) , dx. O conteúdo aqui é de cálculo integral, especificamente usando o método de frações parciais. Vamos precisar decompor a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração 5x - 3(x - 3)(x - 2) usando frações parciais. Isso significa que vamos escrever essa fração como a soma de duas frações mais simples.

Passo 3

A gente assume que 5x - 3(x - 3)(x - 2) pode ser escrito da seguinte forma:
5x - 3(x - 3)(x - 2) = Ax - 3 + Bx - 2

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de A e B. Para fazer isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação por (x - 3)(x - 2):
5x - 3 = A(x - 2) + B(x - 3)
Vamos escolher valores de x que simplifiquem a equação. Se x = 3:
5(3) - 3 = A(3 - 2) + B(0) Rightarrow 15 - 3 = A(1) Rightarrow A = 12
Se x = 2:
5(2) - 3 = A(0) + B(2 - 3) Rightarrow 10 - 3 = -B Rightarrow B = -7

Passo 5

Agora que temos A = 12 e B = -7, podemos reescrever a fração original:
5x - 3(x - 3)(x - 2) = 12x - 3 - 7x - 2

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 12x - 3 , dx - integral 7x - 2 , dx
Sabemos que integral 1x - a , dx = ln|x - a| + C, então:
12 ln|x - 3| - 7 ln|x - 2| + C

Resposta

A integral é igual a 12 ln|x - 3| - 7 ln|x - 2| + C.

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