P(X=x, Y=y)=l k(x y), x=1,2,3, y=1,2 0, caso contrário á
(a) Encontre o valor de k para que a função acima seja realmente uma função distribuição de probabilidade.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma função de probabilidade conjunta
P(X=x,Y=y)= k,(x,y),&x=1,2,3,,;y=1,2, 0,&caso contrário á
O assunto aqui é Distribuição de Probabilidade Discreta (mais especificamente função massa de probabilidade conjunta). Para que isso seja realmente uma distribuição, a soma de todas as probabilidades tem que dar 1. Então o que precisamos fazer é: somar sobre todos os pares válidos, igualar a 1 e achar .

Passo 2

Teoria rápida: em uma distribuição discreta conjunta, a propriedade fundamental é
sumxsumyP(X=x,Y=y)=1
Isso garante que alguma das possibilidades aconteça com certeza.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, temos
sumx=1^3sumy=1^2P(X=x,Y=y) =sumx=1^3sumy=1^2k,(x,y) = k;sumx=1^3sumy=1^2x,y
Agora vamos calcular :
  • Para : .
  • Para : .
  • Para : .
    Somando tudo: .

Passo 4

Como a soma de todas as probabilidades deve ser 1, escrevemos
k cdot 18 = 1 Longrightarrow k = 118

Resposta

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