Se
e
são variáveis aleatórias com densidade conjunta
Encontre o vetor de médias e a matriz de variâncias e covariâncias de
.
Passo 1
Beleza, aí vai o resumo do que temos:
Temos duas variáveis aleatórias X e Y com densidade conjunta
Temos duas variáveis aleatórias X e Y com densidade conjunta
O que a questão pede é:
- o vetor de médias
, - a matriz de variâncias e covariância
Conteúdo que vamos usar:
- Como achar as densidades marginais (integrando a densidade conjunta).
- Definição de esperança
, variância e covariância . - Regras de integração simples em retângulo.
A partir do próximo passo a gente começa o cálculo efetivo.
Passo 2
Calcular as densidades marginais f_X(x) e f_Y(y).
Teoria rápida: a densidade marginal de X é
Do mesmo jeito,
Vamos fazer:
- f_X(x):
- f_Y(y):
Passo 3
Calcular
E[X]=integral x,fX(x),dx, E[Y]=integral y,fY(y),dy e
E[X] =integral1^3xcdot2x-16,dx =integral1^32x^2 - x6,dx =l[2x^3/3 - x^2/26r]1^3 =409approx 2,2222 .
Teoria:
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Passo 4
Calcular
E[X^2] =integral1^3x^22x-16,dx =l[x^4/2 - x^3/36r]1^3 =479 e
Var(X) =479-l(tfrac209r)^2 =2381approx 0,28395 .
Teoria:
E[Y^2] =integral1^2y^212-2y9,dy =l[4y^3 - tfrac12y^49r]1^2 =4118 ,
Var(Y) =4118-l(tfrac4027r)^2 =1211458approx 0,0830 .
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Logo
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Logo
Passo 5
Calcular
E[XY] =integral1^3!!integral1^2xy;3x-y9,dy,dx =integral1^3l[x,(3xcdot1-tfrac2^2-1^22)r]dx9 =integral1^39x^2 -7x27,dx =5027 .
Teoria:
Cov(X,Y) =5027-209cdot4027 =-350243approx -1,4407
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Resposta
Vetor de médias:
Matriz de variâncias e covariância:
[
Var(X)&Cov(X,Y)[6pt] Cov(X,Y)&Var(Y) = 2381&-350243[6pt] -350243&1211458
]