Se X e Y são variáveis aleatórias com densidade conjunta
f(x, y)=cl 3 x-y9, & 1á
Encontre o vetor de médias e a matriz de variâncias e covariâncias de (X, Y).

Passo 1

Beleza, aí vai o resumo do que temos:
Temos duas variáveis aleatórias X e Y com densidade conjunta
f(x,y)= 3x - y9, & 1 < x < 3,; 1 < y < 2, 0,&caso contrário á
O que a questão pede é:
  1. o vetor de médias Var(X)&Cov(X,Y) Cov(X,Y)&Var(Y),
  2. a matriz de variâncias e covariância
Conteúdo que vamos usar:
  • Como achar as densidades marginais (integrando a densidade conjunta).
  • Definição de esperança , variância e covariância .
  • Regras de integração simples em retângulo.
A partir do próximo passo a gente começa o cálculo efetivo.

Passo 2

Calcular as densidades marginais f_X(x) e f_Y(y).
Teoria rápida: a densidade marginal de X é
fX(x)=integraly=1^2 f(x,y),dy
Do mesmo jeito,
fY(y)=integralx=1^3 f(x,y),dx
Vamos fazer:
  1. f_X(x):
fX(x)=integraly=1^23x-y9,dy =19l[;3x,(2-1);-;tfracy^22|1^2r] =19l(3x-tfrac2^2-1^22r) =19l(3x-tfrac32r) =2x-16, 1
  1. f_Y(y):
fY(y)=integralx=1^33x-y9,dx =19l[tfrac3x^22-y,xr]1^3 =19l( tfrac272-3y - (tfrac32-y)r) =12-2y9 =2,(6-y)9, 1

Passo 3

Calcular E[X]=integral x,fX(x),dx, E[Y]=integral y,fY(y),dy e E[X] =integral1^3xcdot2x-16,dx =integral1^32x^2 - x6,dx =l[2x^3/3 - x^2/26r]1^3 =409approx 2,2222 .
Teoria:
E[Y] =integral1^2ycdot12-2y9,dy =integral1^212y-2y^29,dy =l[6y^2 - tfrac23y^39r]1^2 =4027approx 1,4815
  1. :
  1. :

Passo 4

Calcular E[X^2] =integral1^3x^22x-16,dx =l[x^4/2 - x^3/36r]1^3 =479 e Var(X) =479-l(tfrac209r)^2 =2381approx 0,28395 .
Teoria:
E[Y^2] =integral1^2y^212-2y9,dy =l[4y^3 - tfrac12y^49r]1^2 =4118 ,
Var(Y) =4118-l(tfrac4027r)^2 =1211458approx 0,0830 .
  1. :
Logo
  1. :
Logo

Passo 5

Calcular E[XY] =integral1^3!!integral1^2xy;3x-y9,dy,dx =integral1^3l[x,(3xcdot1-tfrac2^2-1^22)r]dx9 =integral1^39x^2 -7x27,dx =5027 .
Teoria:
Cov(X,Y) =5027-209cdot4027 =-350243approx -1,4407
  1. :
  1. :

Resposta

Vetor de médias:
l(E[X],,E[Y]r) =l(tfrac209,,tfrac4027r)

Matriz de variâncias e covariância:
[
Var(X)&Cov(X,Y)[6pt] Cov(X,Y)&Var(Y) = 2381&-350243[6pt] -350243&1211458

.
]

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