Seja a variável bidimensional
com função de densidade conjunta
e
são correlacionadas?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício pede e o que precisamos usar.
Enunciado resumido:
Temos uma densidade conjunta
Temos uma densidade conjunta
Perguntam se
e
são correlacionadas, ou seja, se a correlação (ou covariância) entre elas é diferente de zero.
Conteúdo envolvido:
- Normalização de densidade conjunta (achar
). - Funções densidade marginais.
- Esperança de variáveis contínuas.
- Cálculo de
. - Interpretação: se
, não estão correlacionadas.
Passo 2
Primeiro a gente encontra
impondo que a integral dupla de
seja 1:
Integramos em
e
:
Para dar 1, precisamos de
, logo
Passo 3
Agora calculamos as densidades marginais.
Para :
Para
De modo análogo, para
:
Passo 4
Vamos achar
,
e
.
-
:
-
é igualzinho (pela simetria):
-
:
Como é produto, separamos:
Passo 5
Calculamos a covariança:
Se
, dizemos que
e
não estão correlacionadas.
Resposta
Não,
e
não são correlacionadas (a covariância delas é zero).