Seja a variável bidimensional (X, Y) com função de densidade conjunta
f(x, y)=l c x y, 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1 0, caso contrário á
X e Y são correlacionadas?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede e o que precisamos usar.
Enunciado resumido:
Temos uma densidade conjunta
f(x,y)= c,x,y, & 0<= x<=1,;0<= y<=1, 0,&caso contrário á
Perguntam se e são correlacionadas, ou seja, se a correlação (ou covariância) entre elas é diferente de zero.
Conteúdo envolvido:
  • Normalização de densidade conjunta (achar ).
  • Funções densidade marginais.
  • Esperança de variáveis contínuas.
  • Cálculo de .
  • Interpretação: se , não estão correlacionadas.

Passo 2

Primeiro a gente encontra integral0^1!!integral0^1 c,x,y ,dx,dy = 1 impondo que a integral dupla de integral0^1!!integral0^1 c,x,y ,dx,dy = c l(integral0^1 x,dxr)l(integral0^1 y,dyr) = cl[tfracx^22r]0^1 cdot l[tfracy^22r]0^1 = c cdot tfrac12 cdot tfrac12 = tfracc4 seja 1:
c = 4
Integramos em e :
Para dar 1, precisamos de , logo

Passo 3

Agora calculamos as densidades marginais.
Para fX(x)=integral0^1 f(x,y),dy =integral0^1 4,x,y ,dy =4xintegral0^1 y,dy =4xcdottfrac12 =2x, 0<= x<=1 :
fY(y)=integral0^1 4,x,y ,dx =4yintegral0^1 x,dx =4ycdottfrac12 =2y, 0<= y<=1
De modo análogo, para :

Passo 4

Vamos achar E[X] = integral0^1 x,fX(x),dx = integral0^1 xcdot(2x),dx =2integral0^1 x^2,dx =2cdottfrac13 =tfrac23 , E[Y] = integral0^1 ycdot(2y),dy =2integral0^1 y^2,dy =2cdottfrac13 =tfrac23 e E[XY] =integral0^1!!integral0^1 x,y;f(x,y),dx,dy =integral0^1!!integral0^1 x,y;(4,x,y),dx,dy =4integral0^1!!integral0^1 x^2,y^2,dx,dy .
  1. 4l(integral0^1 x^2,dxr)l(integral0^1 y^2,dyr) =4cdottfrac13cdottfrac13 =tfrac49 :
  1. é igualzinho (pela simetria):
  1. :
Como é produto, separamos:

Passo 5

Calculamos a covariança:
Cov(X,Y) =E[XY] - E[X],E[Y] =tfrac49 - l(tfrac23r)l(tfrac23r) =tfrac49 - tfrac49 =0
Se , dizemos que e não estão correlacionadas.

Resposta

Não, e não são correlacionadas (a covariância delas é zero).

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