Uma urna contém três bolas enumeradas 1,2,3. Duas bolas são tiradas sucessivamente da urna, ao acaso e sem reposição. Seja X o número da primeira bola tirada e Y o número da segunda. Encontre o vetor de médias e a matriz de variâncias e covariâncias de (X, Y).

Passo 1

Tranquilo, aqui o enunciado é: a gente tem uma urna com as bolas {1,2,3}, tira duas bolas sem repor. X é o número da primeira bola, Y da segunda.
Conteúdo: probabilidade discreta, variáveis aleatórias, esperança, variância e covariância.
O que vamos usar:
  1. definir o espaço amostral e a probabilidade conjunta E(X)=sumx x,P(X=x), Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2, Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) ,
  2. saber que

Passo 2

Primeiro, o espaço amostral de pares ordenados sem reposição é
P(X=i,Y=j)= tfrac16,&ineq j, 0,&i=j , total de 6 casos. Como é tudo ao acaso e equiprovável,
P(X=k)=sumjneq kP(X=k,Y=j) =tfrac16+tfrac16 =tfrac13, k=1,2,3
Daí a distribuição marginal de (e, por simetria, de ) é

Passo 3

Calcular E(X)=sumk=1^3 k,P(X=k) =1cdottfrac13+2cdottfrac13+3cdottfrac13 =tfrac1+2+33 =2 :
Por simetria, também.

Passo 4

Agora E(X^2)=sumk=1^3 k^2,P(X=k) =tfrac1^2+2^2+3^23 =tfrac1+4+93 =tfrac143 e Var(X) =E(X^2)-[E(X)]^2 =tfrac143-2^2 =tfrac143-tfrac123 =tfrac23 :
Então
Mesma coisa dá pra : .

Passo 5

Falta a covariância. Primeiro E(XY) =sumineq ji,j;P(X=i,Y=j) =16sumineq ji,j :
E(XY)=226=113
Os pares Cov(X,Y) =E(XY)-E(X),E(Y) =tfrac113-2cdot2 =tfrac113-4 =tfrac11-123 =-tfrac13 com dão soma , logo

Resposta

Vetor de médias:
l(E(X),E(Y)r)=(2,2)
Matriz de variâncias e covariâncias de Var(X) & Cov(X,Y) Cov(X,Y) & Var(Y) = tfrac23 & -tfrac13 -tfrac13 & tfrac23 :
[

.
]

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