P1 (2017.2) Considere um cilindro maciço de raio a condutor e muito longo. O cilindro apresenta uma densidade superficial de carga
. Determine:
(a) O potencial elétrico para todo o espaço (
a e
). (É adequado considerar o potencial no infinito igual a zero?);
(a) O potencial elétrico para todo o espaço (
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o potencial elétrico de um cilindro condutor muito longo com raio $ a $ e densidade superficial de carga $ \sigma $, tanto dentro quanto fora do cilindro. A gente vai precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss e a relação entre campo elétrico e potencial. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é potencial elétrico. O potencial elétrico em um ponto é a energia por unidade de carga que uma carga teria nesse ponto devido a um campo elétrico. Para encontrar o potencial, precisamos primeiro encontrar o campo elétrico gerado pelo cilindro.
Passo 3
Vamos começar calculando o campo elétrico tanto dentro quanto fora do cilindro usando a Lei de Gauss. A Lei de Gauss nos ajuda a encontrar o campo elétrico devido a uma distribuição de carga com alta simetria, como é o caso deste cilindro.
Passo 4
Para $ d > a $ (fora do cilindro):
Imaginamos uma superfície gaussiana na forma de um cilindro coaxial com o cilindro carregado, de raio $ d $ e comprimento $ L $. A carga total dentro dessa superfície é $ Q = \sigma \cdot 2\pi a L $.
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando, o campo elétrico fora do cilindro é:
Passo 5
Para $ d \leq a $ (dentro do cilindro):
Dentro do cilindro, como ele é condutor, o campo elétrico é zero. Isso acontece porque as cargas se distribuem na superfície e dentro do condutor não há campo elétrico.
Passo 6
Agora que temos o campo elétrico, vamos encontrar o potencial elétrico. O potencial está relacionado ao campo elétrico pela relação:
Vamos escolher o potencial no infinito como zero, ou seja, $ V(\infty) = 0 $.
Passo 7
Para $ d > a $:
Integramos o campo elétrico desde $ d $ até o infinito:
Como $ V(\infty) = 0 $, a constante é zero. Então,
Para simplificar, consideramos:
Mas isso diverge, então na prática, escolhemos $ V(a) $ como referência. Assim,
Passo 8
Para $ d \leq a $:
Dentro do condutor, o potencial é constante e igual ao potencial na superfície. Ou seja,
Mas isso não faz sentido físico, então vamos reconsiderar nossa referência.
Na verdade, para um condutor, o potencial dentro é igual ao potencial na superfície, e usando $ V(\infty) = 0 $:
Portanto, o potencial dentro também é zero.
Resposta
O potencial elétrico $ V(d) $ para o cilindro condutor é dado por:
E sim, é adequado considerar o potencial no infinito igual a zero.