(P1, 2024-1) Um cubo sólido de lado L flutua até metade de sua altura em um fluído de densidade \rho. O cubo é, então, içado muito lentamente (em translação vertical), até ser removido completamente do fluido. O trabalho mecânico realizado pelo agente externo no processo completo de içamento é:
1.) \rho L^{3} g
2.) \rho L^{3} g / 2
3.) \rho L^{4} g / 4
4.) \rho L^{4} g / 8
5.) Zero

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • O enunciado nos dá:
    • Um cubo sólido de aresta L.
    • O cubo flutua inicialmente com metade da altura submersa (ou seja, submerso até h=L/2).
    • O fluido tem densidade \rho.
    • O cubo é içado muito lentamente (processo quasistático) até ser totalmente removido do fluido (submersão final h=0).
  • O enunciado pede:
    • O trabalho mecânico realizado pelo agente externo durante todo o processo de içamento (do estado com h=L/2 até h=0).
  • Informações importantes que vou usar depois (anotação):
    • Força de empuxo (Archimedes) depende do volume de fluido deslocado.
    • Peso do cubo é constante durante o processo.

Passo 2

Encontrar a densidade do cubo a partir da condição inicial de flutuação (isso é só para saber o peso do cubo).
  • Defino a densidade do sólido como \rho_c. A massa do cubo é m=\rho_c L^3 e seu peso é W=m g=\rho_c L^3 g.
  • O volume submerso inicial é o volume de uma porção do cubo de altura h=L/2, portanto V_{\text{sub},0}=L^2\cdot\frac{L}{2}=\frac{L^3}{2}.
  • Pelo princípio de Arquimedes, o empuxo inicial vale o peso do volume de fluido deslocado: E_0=\rho g V_{\text{sub},0}=\rho g\cdot\frac{L^3}{2}=\frac{\rho g L^3}{2}.
  • Em equilíbrio flutuante inicial, empuxo iguala peso do cubo: \rho_c L^3 g = \frac{\rho g L^3}{2}.Cancelando L^3 g obtemos \rho_c=\frac{\rho}{2}.
  • Conclusão útil: o peso do cubo é W=\rho_c L^3 g=\frac{\rho L^3 g}{2}.

Passo 3

Expressar o empuxo enquanto o cubo está sendo içado, como função da altura submersa h.
  • Quando o cubo está parcialmente submerso com altura submersa h (onde 0\le h\le L), o volume submerso é V_{\text{sub}}(h)=L^2 h.
  • Assim o empuxo em função de h é E(h)=\rho g L^2 h.
  • Observação de sinal: E(h) aponta para cima e varia linearmente com h; quando h=0 temos E=0, quando h=L/2 recuperamos E=\rho g L^3/2, consistente com a condição inicial.

Passo 4

Determinar a força externa aplicada pelo agente durante o içamento quasistático.
  • Durante o içamento muito lento a aceleração é desprezível, logo a soma das forças verticais é zero: F_{\text{ext}}(h)+E(h)-W=0.Aqui F_{\text{ext}}(h) é a força aplicada para cima pelo agente, E(h) é o empuxo para cima e W é o peso para baixo.
  • Portanto F_{\text{ext}}(h)=W-E(h).
  • Substituindo W=\dfrac{\rho L^3 g}{2} e E(h)=\rho g L^2 h, obtemos F_{\text{ext}}(h)=\rho g\bigg(\frac{L^3}{2}-L^2 h\bigg)=\rho g L^2\Big(\frac{L}{2}-h\Big).
  • Interpretação física: quanto menos submerso ( h menor), menor é o empuxo e maior precisa ser F_{\text{ext}} para equilibrar o peso.

Passo 5

Montar a integral do trabalho realizado pelo agente externo e justificar os limites de integração.
  • O trabalho realizado pelo agente ao deslocar o cubo verticalmente de sua posição inicial até sair do fluido é W_{\text{ext}}=\int_{z_0}^{z_f} F_{\text{ext}}\,dz,onde z é a coordenada vertical do cubo (positivo para cima). Porém é mais conveniente trocar de variável para a altura submersa h.
  • Ao subir o cubo, h diminui. Um deslocamento para cima dz corresponde a dh=-dz. Assim W_{\text{ext}}=\int_{z_0}^{z_f} F_{\text{ext}}\,dz = \int_{h_0}^{h_f} F_{\text{ext}}(h)\,(-dh)=\int_{h_f}^{h_0} F_{\text{ext}}(h)\,dh.
  • Os limites em h são: inicial h_0=L/2; final h_f=0. Então W_{\text{ext}}=\int_{0}^{L/2} F_{\text{ext}}(h)\,dh.
  • Substituindo a expressão de F_{\text{ext}}(h): W_{\text{ext}}=\int_{0}^{L/2} \rho g L^2\Big(\frac{L}{2}-h\Big)\,dh.

Passo 6

Calcular a integral passo a passo.
  • Factorando constantes: W_{\text{ext}}=\rho g L^2\int_{0}^{L/2}\Big(\frac{L}{2}-h\Big)\,dh.
  • Calculo da primitiva: \int\Big(\frac{L}{2}-h\Big)\,dh=\frac{L}{2}h-\frac{h^2}{2}.
  • Avaliando entre 0 e L/2: \left[\frac{L}{2}h-\frac{h^2}{2}\right]_{0}^{L/2}=\frac{L}{2}\cdot\frac{L}{2}-\frac{1}{2}\Big(\frac{L}{2}\Big)^2=\frac{L^2}{4}-\frac{L^2}{8}=\frac{L^2}{8}.
  • Portanto W_{\text{ext}}=\rho g L^2\cdot\frac{L^2}{8}=\frac{\rho g L^4}{8}.

Passo 7

Interpretação final e comparação com as opções dadas.
  • O trabalho mecânico realizado pelo agente externo durante o içamento completo é \frac{\rho g L^4}{8}.
  • Isso corresponde à alternativa 4 da lista do enunciado.

Resposta

\dfrac{\rho L^{4} g}{8}

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