(P1, 2024-1) Um cubo sólido de lado
flutua até metade de sua altura em um fluído de densidade
. O cubo é, então, içado muito lentamente (em translação vertical), até ser removido completamente do fluido. O trabalho mecânico realizado pelo agente externo no processo completo de içamento é:
1.)
2.)
3.)
4.)
5.) Zero
1.)
2.)
3.)
4.)
5.) Zero
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
- O enunciado nos dá:
- Um cubo sólido de aresta
. - O cubo flutua inicialmente com metade da altura submersa (ou seja, submerso até
). - O fluido tem densidade
. - O cubo é içado muito lentamente (processo quasistático) até ser totalmente removido do fluido (submersão final
).
- Um cubo sólido de aresta
- O enunciado pede:
- O trabalho mecânico realizado pelo agente externo durante todo o processo de içamento (do estado com
até ).
- O trabalho mecânico realizado pelo agente externo durante todo o processo de içamento (do estado com
- Informações importantes que vou usar depois (anotação):
- Força de empuxo (Archimedes) depende do volume de fluido deslocado.
- Peso do cubo é constante durante o processo.
Passo 2
Encontrar a densidade do cubo a partir da condição inicial de flutuação (isso é só para saber o peso do cubo).
- Defino a densidade do sólido como
. A massa do cubo é e seu peso é . - O volume submerso inicial é o volume de uma porção do cubo de altura
, portanto - Pelo princípio de Arquimedes, o empuxo inicial vale o peso do volume de fluido deslocado:
- Em equilíbrio flutuante inicial, empuxo iguala peso do cubo:
Cancelando obtemos - Conclusão útil: o peso do cubo é
Passo 3
Expressar o empuxo enquanto o cubo está sendo içado, como função da altura submersa
.
- Quando o cubo está parcialmente submerso com altura submersa
(onde ), o volume submerso é - Assim o empuxo em função de
é - Observação de sinal:
aponta para cima e varia linearmente com ; quando temos , quando recuperamos , consistente com a condição inicial.
Passo 4
Determinar a força externa aplicada pelo agente durante o içamento quasistático.
- Durante o içamento muito lento a aceleração é desprezível, logo a soma das forças verticais é zero:
Aqui é a força aplicada para cima pelo agente, é o empuxo para cima e é o peso para baixo. - Portanto
- Substituindo
e , obtemos - Interpretação física: quanto menos submerso (
menor), menor é o empuxo e maior precisa ser para equilibrar o peso.
Passo 5
Montar a integral do trabalho realizado pelo agente externo e justificar os limites de integração.
- O trabalho realizado pelo agente ao deslocar o cubo verticalmente de sua posição inicial até sair do fluido é
onde é a coordenada vertical do cubo (positivo para cima). Porém é mais conveniente trocar de variável para a altura submersa . - Ao subir o cubo,
diminui. Um deslocamento para cima corresponde a . Assim - Os limites em
são: inicial ; final . Então - Substituindo a expressão de
:
Passo 6
Calcular a integral passo a passo.
- Factorando constantes:
- Calculo da primitiva:
- Avaliando entre
e : - Portanto
Passo 7
Interpretação final e comparação com as opções dadas.
- O trabalho mecânico realizado pelo agente externo durante o içamento completo é
- Isso corresponde à alternativa 4 da lista do enunciado.