(SC, 2024-1) Um pequeno orifício circular com diâmetro igual a 2 mm é cortado na superficie lateral de um grande tanque de água, a uma profundidade de 20 m abaixo da superfície da água. O topo do tanque está aberto para a atmosfera. Se necessário, use as aproximações
e
. Determine:
(a) A velocidade da água que escoa pelo orifício;
(b) O volume de água que atravessa o orifício em um segundo.
(a) A velocidade da água que escoa pelo orifício;
(b) O volume de água que atravessa o orifício em um segundo.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dados (peguei estes valores do enunciado):
- Diâmetro do orifício:
. - Profundidade do orifício abaixo da superfície livre:
. - Abertura do topo do tanque para a atmosfera (pressão na superfície é pressão atmosférica).
- Aproximações:
e .
- Diâmetro do orifício:
- O enunciado pede:
- (a) a velocidade da água que escoa pelo orifício;
- (b) o volume de água que atravessa o orifício em um segundo (vazão volumétrica).
Passo 2
Modelo físico e hipóteses (explicando a teoria que vamos usar):
- Hipóteses razoáveis: água incompressível, escoamento estacionário, área do tanque muito maior que a do orifício (logo a velocidade da superfície livre é desprezível) e o jato sai para a atmosfera (pressão de saída igual à atmosférica).
- Ferramenta: Equação de Bernoulli entre a superfície livre (ponto 1) e a saída no orifício (ponto 2). A forma geral é:
onde:
-
é a pressão (em Pa), -
é a densidade do fluido (em ), -
é a aceleração da gravidade, -
é a altura (cota) medida ao longo do eixo vertical, -
é a velocidade do fluido naquele ponto. - Aplicando às nossas hipóteses:
- No ponto 1 (superfície livre):
, , . - No ponto 2 (orifício, saída do jato):
, , velocidade .
- No ponto 1 (superfície livre):
- Como
, essas pressões se cancelam na equação e obtemos:
- Cancelando
e isolando resulta a fórmula de Torricelli (fórmula clássica para jato livre):
Explicação curta: a perda de energia potencial
por unidade de volume se transforma em energia cinética
, daí a raiz quadrada.
Passo 3
Cálculo numérico da velocidade usando
:
Passo 4
Cálculo da área do orifício (para depois obter a vazão):
- Raio do orifício:
. - Área circular:
- Substituindo
:
Passo 5
Cálculo da vazão volumétrica (volume por segundo)
:
Conversões úteis:
- Em litros por segundo:
, logo
- Em
(mL/s): (ou ).
Passo 6
Observações finais rápidas e motivação:
- Resultado prático: o jato sai bem rápido (20 m/s) mas a área é muito pequena, então a vazão é pequena (aprox.
). - Lembrete para a prova: a dedução por Bernoulli + hipótese
é o caminho padrão. Em problemas reais pode-se introduzir um coeficiente de descarga (efeitos de contração do jato e atrito), mas salvo indicação do enunciado, assume-se saída ideal e .
Resposta
(a)
(b)