Duas cargas idênticas
Q=3 \mu C
estão separadas por \mathbf{4} m.
Considere um ponto P localizado no ponto médio entre as duas cargas.
a) Determine o potencial elétrico no ponto P.
b) Nesse ponto, o campo elétrico resultante é nulo ou não?
Explique sua resposta comparando as propriedades do campo elétrico e do potencial elétrico.

Passo 1

O enunciado nos dá e pergunta o seguinte:
  • Duas cargas idênticas \,Q=3\\ \mu\mathrm{C}=3\times10^{-6}\\ \mathrm{C}\, estão separadas por \,4\\ \mathrm{m}\,.
  • O ponto P está no ponto médio entre as duas cargas.
    As perguntas são:
    (a) Determinar o potencial elétrico no ponto P.
    (b) Nesse ponto, o campo elétrico resultante é nulo ou não? Explicar comparando as propriedades do campo elétrico e do potencial elétrico.

Passo 2

Fórmula do potencial elétrico produzido por uma carga pontual.
  • Para uma carga pontual \,Q localizada a uma distância \,r de um ponto, o potencial elétrico (escalar) naquele ponto é dado por
V = k\,\frac{Q}{r},
onde:
  • \,k é a constante eletrostática \,k\approx 8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\;m^{2}/C^{2}},
  • \,Q é a carga em coulombs,
  • \,r é a distância entre a carga e o ponto onde se calcula o potencial.
  • Observação importante: o potencial é UMA grandeza escalar — soma-se algebraicamente (com sinais) o potencial de cada carga para obter o potencial total.

Passo 3

Distâncias do ponto P a cada carga e expressão para o potencial total.
  • Como P é o ponto médio entre as cargas separadas por \,4\\ \mathrm{m}, a distância de P a cada carga é
r = 2\\ \mathrm{m}.
  • O potencial total em P é a soma dos potenciais devido a cada carga:
V_{\text{total}} = V_1 + V_2 = k\frac{Q}{r} + k\frac{Q}{r} = 2\,k\frac{Q}{r}.

Passo 4

Simplificação algébrica do potencial total usando r=2\\ \mathrm{m}.
  • Substituindo r=2\\ \mathrm{m} em \,V_{\text{total}}=2k\frac{Q}{r}\, obtemos
V_{\text{total}} = 2k\frac{Q}{2} = kQ.
  • Isto mostra uma simplificação bonita: o potencial no ponto médio vale simplesmente kQ.

Passo 5

Cálculo numérico do potencial no ponto P.
  • Usando \,k=8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\;m^{2}/C^{2}} e \,Q=3\times10^{-6}\\ \mathrm{C},
V_{\text{total}} = kQ = \left(8,99\times10^{9}\right)\left(3\times10^{-6}\right).
  • Multiplicando:
V_{\text{total}} = 2,697\times10^{4}\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Fórmula do campo elétrico de uma carga pontual e cálculo das contribuições em P.
  • O campo elétrico (vetorial) gerado por uma carga pontual \,Q a uma distância \,r é
\vec{E} = k\,\frac{Q}{r^{2}}\,\hat{r},
onde \,\hat{r} é o versor que aponta do centro da carga para o ponto (direção do campo).
  • No ponto P cada carga produz um campo de magnitude
E_{\text{cada}} = k\frac{Q}{r^{2}} = k\frac{Q}{(2\\ \mathrm{m})^{2}}.
  • Valor numérico da magnitude de cada contribuição:
E_{\text{cada}} = \frac{2,697\times10^{4}}{4}\\ \mathrm{N/C} = 6,7425\times10^{3}\\ \mathrm{N/C}.

Passo 7

Direções dos campos e soma vetorial em P.
  • As duas cargas são positivas e estão dispostas simetricamente em relação a P. Cada carga rege um campo que aponta para fora (repulsão).
  • No ponto médio, os dois campos têm a mesma magnitude (calculada acima) e apontam em direções exatamente opostas ao longo da linha que une as cargas. Portanto, suas componentes vetoriais se anulam:
\vec{E}_{\text{total}} = \vec{E}_{1} + \vec{E}_{2} = \vec{0}.
  • Conclusão: o campo elétrico resultante em P é nulo.

Passo 8

Explicação conceitual comparando campo elétrico e potencial elétrico (aquela parte teórica pedida).
  • Potencial elétrico:
    • É uma grandeza escalar. Para várias cargas, soma-se algebraicamente o potencial de cada uma.
    • No ponto P os potenciais de cada carga adicionam-se (ambos positivos porque as cargas são positivas), por isso o potencial total é diferente de zero.
  • Campo elétrico:
    • É uma grandeza vetorial. Para várias cargas, somam-se vetorialmente as contribuições.
    • Em P as contribuições vetoriais têm mesma magnitude e direções opostas, por isso se cancelam e o campo resultante é nulo.
  • Relação formal entre as duas grandezas:
    • O campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial:
    \vec{E} = -\nabla V.
    • Um ponto onde \vec{E}=\vec{0} corresponde a um ponto estacionário do potencial (um extremo local ou ponto de sela); isso não implica que o potencial seja zero. No nosso caso o potencial é positivo e diferente de zero em P, apesar de \vec{E}=\vec{0}.
  • Observação física adicional (intuição): no ponto médio as forças (vetoriais) de cada carga sobre uma carga de prova se anulam, mas a “altitude” (valor escalar) do potencial permanece elevada porque cada carga contribui positivamente.

Resposta

V(P)=2,697\times10^{4}\\ \mathrm{V}
\vec{E}(P)=\vec{0}

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