(PF, 2024-1) Uma coroa esférica de raio
e espessura
é formada por um material de densidade
. Se metade do volume deste objeto flutua sobre um fluido de densidade
, a razão
será igual a
1.)
2.) 2
3.)
4.)
1.)
2.) 2
3.)
4.)
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Uma coroa esférica (casca esférica) com raio externo
e espessura . - Material da casca tem densidade
. - O fluido tem densidade
. - Diz-se que metade do volume deste objeto flutua sobre o fluido (isto é: metade do volume total do objeto fica acima da superfície, portanto a outra metade está submersa).
O que se pede:
- Determinar a razão
.
Passo 2
Princípio de Arquimedes (ideia central para corpos flutuantes): o corpo flutua quando o peso do corpo é igual à força de empuxo. Vou escrever isso com fórmulas e explicar cada termo:
- Peso do objeto: é a massa do material vezes a aceleração da gravidade. A massa do material é a densidade do material multiplicada pelo volume do material (volume da casca, não o volume externo total). Assim:
onde
é o volume do material da casca e
é a aceleração da gravidade.
- Empuxo: igual ao peso do fluido deslocado, isto é, densidade do fluido vezes o volume submerso (volume do objeto abaixo da superfície) vezes
:
onde
é o volume do objeto submerso.
Equilíbrio (flutuação):
Como
aparece dos dois lados, podemos simplificar:
Explicação das variáveis:
é densidade do material,
volume de material (casca),
densidade do fluido,
volume submerso (parte do volume externo do objeto que está abaixo da superfície).
Passo 3
Calcular o volume do material (
). Volume de uma esfera de raio
é
Aqui a casca esférica tem raio externo
e raio interno
. Então:
Calcule a potência:
Portanto
Passo 4
Calcular o volume submerso
. O enunciado diz que metade do volume do objeto flutua sobre o fluido, ou seja, metade do volume total externo do objeto fica acima da superfície e a outra metade está submersa. O volume externo total do objeto é o volume da esfera de raio
:
Logo, o volume submerso é metade disso:
Passo 5
Voltar à equação do equilíbrio e substituir os volumes encontrados:
Substituindo
Podemos cancelar o fator
dos dois lados, obtendo
Isolando a razão desejada:
Passo 6
Breve verificação e interpretação: a razão
significa que a densidade do material da casca é menor que a densidade do fluido (pois a casca é vazia por dentro), o que é consistente com o fato de que parte do volume (o interior) ajuda a deslocar fluido sem adicionar massa. A resposta corresponde à alternativa correta.