(PF, 2024-1) Uma coroa esférica de raio R e espessura R / 2 é formada por um material de densidade \rho. Se metade do volume deste objeto flutua sobre um fluido de densidade \rho_{0}, a razão \rho / \rho_{0} será igual a
1.) 4 / 7
2.) 2
3.) 3 / 5
4.) 5 / 8

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Uma coroa esférica (casca esférica) com raio externo R e espessura R/2.
  • Material da casca tem densidade \rho.
  • O fluido tem densidade \rho_{0}.
  • Diz-se que metade do volume deste objeto flutua sobre o fluido (isto é: metade do volume total do objeto fica acima da superfície, portanto a outra metade está submersa).
O que se pede:
  • Determinar a razão \rho/\rho_{0}.

Passo 2

Princípio de Arquimedes (ideia central para corpos flutuantes): o corpo flutua quando o peso do corpo é igual à força de empuxo. Vou escrever isso com fórmulas e explicar cada termo:
  • Peso do objeto: é a massa do material vezes a aceleração da gravidade. A massa do material é a densidade do material multiplicada pelo volume do material (volume da casca, não o volume externo total). Assim:
\text{peso} = \rho \, V_{\text{mat}} \, g,
onde V_{\text{mat}} é o volume do material da casca e g é a aceleração da gravidade.
  • Empuxo: igual ao peso do fluido deslocado, isto é, densidade do fluido vezes o volume submerso (volume do objeto abaixo da superfície) vezes g:
\text{empuxo} = \rho_{0} \, V_{\text{sub}} \, g,
onde V_{\text{sub}} é o volume do objeto submerso.
Equilíbrio (flutuação):
\rho \, V_{\text{mat}} \, g = \rho_{0} \, V_{\text{sub}} \, g.
Como g aparece dos dois lados, podemos simplificar:
\rho \, V_{\text{mat}} = \rho_{0} \, V_{\text{sub}}.
Explicação das variáveis: \rho é densidade do material, V_{\text{mat}} volume de material (casca), \rho_{0} densidade do fluido, V_{\text{sub}} volume submerso (parte do volume externo do objeto que está abaixo da superfície).

Passo 3

Calcular o volume do material ( V_{\text{mat}}). Volume de uma esfera de raio r é
V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi r^{3}.
Aqui a casca esférica tem raio externo R e raio interno R_{\text{in}} = R - \text{espessura} = R - \frac{R}{2} = \frac{R}{2}. Então:
V_{\text{mat}} = V_{\text{externo}} - V_{\text{interno}} = \frac{4}{3}\pi R^{3} - \frac{4}{3}\pi\left(\frac{R}{2}\right)^{3}.
Calcule a potência:
\left(\frac{R}{2}\right)^{3} = \frac{R^{3}}{8}.
Portanto
V_{\text{mat}} = \frac{4}{3}\pi R^{3} - \frac{4}{3}\pi\frac{R^{3}}{8} = \frac{4}{3}\pi R^{3}\left(1 - \frac{1}{8}\right) = \frac{4}{3}\pi R^{3}\cdot\frac{7}{8}.

Passo 4

Calcular o volume submerso V_{\text{sub}}. O enunciado diz que metade do volume do objeto flutua sobre o fluido, ou seja, metade do volume total externo do objeto fica acima da superfície e a outra metade está submersa. O volume externo total do objeto é o volume da esfera de raio R:
V_{\text{externo}} = \frac{4}{3}\pi R^{3}.
Logo, o volume submerso é metade disso:
V_{\text{sub}} = \frac{1}{2}\,V_{\text{externo}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}.

Passo 5

Voltar à equação do equilíbrio e substituir os volumes encontrados:
\rho \, V_{\text{mat}} = \rho_{0} \, V_{\text{sub}}.
Substituindo
\rho \left(\frac{4}{3}\pi R^{3}\cdot\frac{7}{8}\right) = \rho_{0}\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}\right).
Podemos cancelar o fator \frac{4}{3}\pi R^{3} dos dois lados, obtendo
\rho\cdot\frac{7}{8} = \rho_{0}\cdot\frac{1}{2}.
Isolando a razão desejada:
\frac{\rho}{\rho_{0}} = \frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{7}{8}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{8}{7} = \frac{4}{7}.

Passo 6

Breve verificação e interpretação: a razão \rho/\rho_{0}=\tfrac{4}{7} significa que a densidade do material da casca é menor que a densidade do fluido (pois a casca é vazia por dentro), o que é consistente com o fato de que parte do volume (o interior) ajuda a deslocar fluido sem adicionar massa. A resposta corresponde à alternativa correta.

Resposta

\dfrac{4}{7}

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