P10.13 Uma grande lagoa é drenada por um canal retangular de asfalto com 2 pés de largura. A declividade do canal é de 0,8 graus. Se o escoamento for uniforme, com uma profundidade de 21 polegadas, calcule o tempo para drenar 1 acre-pé de água.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o tempo para drenar 1 acre-pé de água:
  • Largura do canal retangular: 2 pés.
  • Declividade do canal: 0,8^\circ (o ângulo em graus).
  • Profundidade do escoamento (uniforme): 21 polegadas.
  • Volume a drenar: 1 acre-pé.
Informações que vou usar/Converter (pego do enunciado):
  • Converter profundidade para pés: 21 polegadas = \dfrac{21}{12} pés.
  • Converter 1 acre-pé para pés cúbicos: 1 acre-pé =43560\\ \text{ft}^3.
O que o problema pede: calcular o tempo total necessário para drenar o volume 43560\\ \text{ft}^3 através do canal com as dimensões e declividade dadas.

Passo 2

Escolha do método: para escoamento uniforme em canal aberto usa-se rotineiramente a fórmula de Manning para velocidade média. Motivo: o enunciado pede escoamento uniforme e fornece geometria do canal e declividade; a fórmula de Manning relaciona essas grandezas diretamente ao módulo médio da velocidade sem precisar de detalhamento do perfil de velocidade. Vou usar a fórmula de Manning e um valor típico de rugosidade para asfalto (explico e justifico o valor em seguida).

Passo 3

Apresentação da fórmula e definições (aula curta):
A fórmula de Manning é
V=\frac{1}{n}R^{2/3}S^{1/2},
onde:
  • V é a velocidade média do escoamento (unidades: \mathrm{ft/s} se R em pés e S adimensional).
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional). Para superfícies lisas como asfalto costuma-se usar valores em torno de n=0{,}011 a 0{,}013; vou tomar um valor representativo n=0{,}012 (valor típico para revestimento asfáltico/impermeabilizado). Esta escolha é uma hipótese razoável quando o problema não fornece n.
  • R é o raio hidráulico, definido por R=\dfrac{A}{P}, onde A é a área molhada e P o perímetro molhado.
  • S é a declividade da linha d’água (ou declividade do canal), número adimensional. Se a declividade é dada por um ângulo \theta, toma-se S=\tan\theta (queda vertical por unidade de comprimento horizontal).

Passo 4

Calcular a geometria do escoamento (detalhado, passo a passo):
  • Converter profundidade:
\text{profundidade } y=\frac{21}{12}\\ \text{ft}=1{,}75\\ \text{ft}.
  • Largura do canal:
b=2\\ \text{ft}.
  • Área molhada (retangular):
A=b\,y=2\times 1{,}75=3{,}5\\ \text{ft}^2.
  • Perímetro molhado:
P=b+2y=2+2\times 1{,}75=2+3{,}5=5{,}5\\ \text{ft}.
  • Raio hidráulico:
R=\frac{A}{P}=\frac{3{,}5}{5{,}5}=0{,}636363\\ \text{ft}\\ (\text{aprox. }0{,}6364\\ \text{ft}).

Passo 5

Calcular a declividade S:
A declividade dada é um ângulo \theta=0{,}8^\circ. A declividade adimensional é
S=\tan\theta=\tan(0{,}8^\circ).
Calculando numericamente,
S\approx 0{,}0139629\\ (\text{aprox. }0{,}013963).

Passo 6

Aplicar Manning para obter a velocidade média V. Primeiro calcule R^{2/3} e S^{1/2}:
  • R^{2/3}:
R^{2/3}=(0{,}636363)^{2/3}\approx 0{,}73994.
  • S^{1/2}:
S^{1/2}=\sqrt{0{,}0139629}\approx 0{,}11816.
  • Tomando n=0{,}012, aplica-se Manning:
V=\frac{1}{n}R^{2/3}S^{1/2}=\frac{1}{0{,}012}\times 0{,}73994\times 0{,}11816.
Calcule:
0{,}73994\times 0{,}11816\approx 0{,}087374,
\frac{1}{0{,}012}\approx 83{,}3333,
V\approx 83{,}3333\times 0{,}087374\approx 7{,}2812\\ \text{ft/s}.

Passo 7

Calcular vazão Q e tempo para drenar 1 acre-pé:
  • Vazão:
Q=A\,V=3{,}5\times 7{,}2812\approx 25{,}4841\\ \text{ft}^3/\text{s}.
  • Volume a drenar:
V_{\text{total}}=1\\ \text{acre-pé}=43560\\ \text{ft}^3.é
  • Tempo em segundos:
t=\frac{V_{\text{total}}}{Q}=\frac{43560}{25{,}4841}\approx 1708{,}89\\ \text{s}.
  • Converter para minutos:
t=\frac{1708{,}89}{60}\approx 28{,}4815\\ \text{min}\approx 28\\ \text{min }29\\ \text{s}.

Passo 8

Comentário final e sensibilidade (didática extra): O resultado depende do valor assumido para n. Usei n=0{,}012 (asfalto). Se o revestimento fosse muito mais rugoso (maior n), a velocidade seria menor e o tempo maior. Mas para problemas de prova quando não é fornecido n, tomar um valor típico e explicitá-lo é procedimento aceitável. Também verifique sempre unidades (pés, segundos, etc.) como foi feito aqui.

Resposta

t\approx 1708{,}9\\ \text{s}=28{,}48\\ \text{min}\approx 28\\ \text{min }29\\ \text{s}

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