P10.13 Uma grande lagoa é drenada por um canal retangular de asfalto com 2 pés de largura. A declividade do canal é de 0,8 graus. Se o escoamento for uniforme, com uma profundidade de 21 polegadas, calcule o tempo para drenar 1 acre-pé de água.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o tempo para drenar
acre-pé de água:
- Largura do canal retangular:
pés. - Declividade do canal:
(o ângulo em graus). - Profundidade do escoamento (uniforme):
polegadas. - Volume a drenar:
acre-pé.
Informações que vou usar/Converter (pego do enunciado):
- Converter profundidade para pés:
polegadas pés. - Converter
acre-pé para pés cúbicos: acre-pé .
O que o problema pede: calcular o tempo total necessário para drenar o volume
através do canal com as dimensões e declividade dadas.
Passo 2
Escolha do método: para escoamento uniforme em canal aberto usa-se rotineiramente a fórmula de Manning para velocidade média. Motivo: o enunciado pede escoamento uniforme e fornece geometria do canal e declividade; a fórmula de Manning relaciona essas grandezas diretamente ao módulo médio da velocidade sem precisar de detalhamento do perfil de velocidade. Vou usar a fórmula de Manning e um valor típico de rugosidade para asfalto (explico e justifico o valor em seguida).
Passo 3
Apresentação da fórmula e definições (aula curta):
A fórmula de Manning é
A fórmula de Manning é
onde:
-
é a velocidade média do escoamento (unidades: se em pés e adimensional). -
é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional). Para superfícies lisas como asfalto costuma-se usar valores em torno de a ; vou tomar um valor representativo (valor típico para revestimento asfáltico/impermeabilizado). Esta escolha é uma hipótese razoável quando o problema não fornece . -
é o raio hidráulico, definido por , onde é a área molhada e o perímetro molhado. -
é a declividade da linha d’água (ou declividade do canal), número adimensional. Se a declividade é dada por um ângulo , toma-se (queda vertical por unidade de comprimento horizontal).
Passo 4
Calcular a geometria do escoamento (detalhado, passo a passo):
- Converter profundidade:
- Largura do canal:
- Área molhada (retangular):
- Perímetro molhado:
- Raio hidráulico:
Passo 5
Calcular a declividade
:
A declividade dada é um ângulo
. A declividade adimensional é
Calculando numericamente,
Passo 6
Aplicar Manning para obter a velocidade média
. Primeiro calcule
e
:
-
:
-
:
- Tomando
, aplica-se Manning:
Calcule:
Passo 7
Calcular vazão
e tempo para drenar
acre-pé:
- Vazão:
- Volume a drenar:
- Tempo em segundos:
- Converter para minutos:
Passo 8
Comentário final e sensibilidade (didática extra): O resultado depende do valor assumido para
. Usei
(asfalto). Se o revestimento fosse muito mais rugoso (maior
), a velocidade seria menor e o tempo maior. Mas para problemas de prova quando não é fornecido
, tomar um valor típico e explicitá-lo é procedimento aceitável. Também verifique sempre unidades (pés, segundos, etc.) como foi feito aqui.