P10.5 Água escoa por um canal retangular de 4 pés de largura e 2 pés de profundidade. A vazão é de 20.000 \mathrm{gal} / min . Calcule o número de Froude do escoamento.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:\n
  • Pede: calcular o número de Froude do escoamento (valor adimensional).\n
  • Dados fornecidos:
    • Largura do canal: b=4\\ \text{ft}.
    • Profundidade do canal (espaço preenchido pela água): h=2\\ \text{ft}.
    • Vazão volumétrica: Q=20000\\ \text{gal/min}.

Passo 2

Converter a vazão Q para unidades usuais em hidráulica (pés cúbicos por segundo, \text{ft}^3/\text{s}). Primeiro lembrar a relação entre galão e pé cúbico:
1\\ \text{gal} = \frac{231}{1728}\\ \text{ft}^3 \approx 0,1336805556\\ \text{ft}^3.
Então, em \text{ft}^3/\text{min}:
Q = 20000\cdot\frac{231}{1728}\\ \text{ft}^3/\text{min} = 2673,611111\\ \text{ft}^3/\text{min}.
Agora converter para \text{ft}^3/\text{s} dividindo por 60:
Q = \frac{2673,611111}{60}\\ \text{ft}^3/\text{s} = 44,560185185\\ \text{ft}^3/\text{s}.

Passo 3

Calcular a área da seção transversal A. Para um canal retangular:
A = b\cdot h.
Substituindo:
A = 4\cdot 2 = 8\\ \text{ft}^2.

Passo 4

Calcular a velocidade média média V usando V = Q/A. Usar Q em \text{ft}^3/\text{s} e A em \text{ft}^2:
V = \frac{Q}{A} = \frac{44,560185185}{8} = 5,570023148\\ \text{ft/s}.
Comentário didático rápido: essa V é a velocidade média da água na seção reta do canal; em prova basta fazer Q/A.

Passo 5

Definir e calcular a profundidade hidráulica D. A profundidade hidráulica é definida como a área da seção transversal dividida pela largura superficial molhada (top width). Para um canal retangular com água até a borda, a largura superficial é igual a b. Logo:
D = \frac{A}{\text{largura superficial}} = \frac{A}{b}.
Substituindo os valores:
D = \frac{8}{4} = 2\\ \text{ft}.
Observação útil: para um retângulo com água cheia até a profundidade h, D coincide com h.

Passo 6

Definir o número de Froude e explicar rapidamente o seu significado. O número de Froude é a razão entre a velocidade do escoamento e a velocidade de ondas gravitacionais na mesma profundidade; é adimensional e indica o regime do escoamento:
\mathrm{Fr}=\frac{V}{\sqrt{g\,D}},
onde
  • V é a velocidade média ( \text{ft/s}),
  • g é a aceleração da gravidade (usar g=32,2\\ \text{ft/s}^2),
  • D é a profundidade hidráulica ( \text{ft}).\n
    Agora calcular o denominador:
\sqrt{g\,D}=\sqrt{32,2\cdot 2}=\sqrt{64,4}=8,024968\\ \text{ft/s}.
Portanto o número de Froude é
\mathrm{Fr}=\frac{5,570023148}{8,024968}=0,6939\\ \text{(adimensional)}.

Passo 7

Interpretação do resultado (dica de prova): como \mathrm{Fr}<1, o escoamento é subcrítico (também chamado de escoamento tranqüilo), ou seja, as ondas gravitacionais se propagam rio acima e rio abaixo. Em prova, além de calcular \mathrm{Fr}, é comum responder se o escoamento é subcrítico ( \mathrm{Fr}<1), crítico ( \mathrm{Fr}=1) ou supercrítico ( \mathrm{Fr}>1). Força final de ânimo: fez certinho — essas conversões e a fórmula são o essencial.

Resposta

\mathrm{Fr}\approx0,694

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