*P10.44 Dois extensômetros
e
estão conectados à superfície de uma chapa que está sujeita a uma carga uniformemente distribuída
. Se os extensômetros dão uma leitura de
e
, determine o módulo de elasticidade
, o módulo de cisalhamento
e o coeficiente de Poisson
para o material.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
-
Dados fornecidos:
- Dois extensômetros ligados na superfície da chapa fornecem leituras
e . - As cargas (ou tensões) aplicadas na chapa nas direções
e são
e . - Não há outra informação numérica (espessura, orientação diferente, etc.) no enunciado.
- Dois extensômetros ligados na superfície da chapa fornecem leituras
-
O que o problema pede:
- Determinar o módulo de elasticidade
. - Determinar o módulo de cisalhamento
. - Determinar o coeficiente de Poisson
.
- Determinar o módulo de elasticidade
Observação (apenas factual sobre os dados): presumo que os extensômetros a e b medem as deformações nas direções principais
e
da chapa (isto é,
e
), porque com apenas duas leituras esse é o caso mais direto que leva a um sistema determinável para
e
. Vou usar essa correspondência para resolver o problema.
Passo 2
Apresentar as equações constitutivas lineares (Lei de Hooke no caso de tensão plana) que relacionam tensões e deformações no caso de estado plano de tensões.
- Para estado plano de tensões (plane stress), as relações lineares entre as deformações
e as tensões são:
Explicando cada símbolo:
-
são as deformações normais nas direções e (sem unidade). -
são as tensões normais aplicadas nas direções e (mesmas unidades que ). -
é o módulo de elasticidade (a encontrar). -
é o coeficiente de Poisson (a encontrar).
Passo 3
Trocar os símbolos do enunciado para as incógnitas e colocar os valores numéricos nas equações.
- Vamos identificar
e . - Identificamos
e (mantendo as unidades originais dadas em ; como as deformações são adimensionais, terá as mesmas unidades das tensões).
Substituindo estes valores nas equações de Hooke obtemos o sistema:
Passo 4
Reescrever o sistema de forma mais clara e organizar para resolver
e
.
As duas equações são:
(observei que
)
Passo 5
Isolar
nas duas equações e igualar para eliminar
e obter uma equação só em
.
- Da primeira:
- Da segunda:
Igualando as duas expressões para
:
Passo 6
Resolver a equação obtida para
. Fazer as contas passo a passo.
Multiplicando em cruz para evitar divisões:
Calcular os dois lados:
- Lado esquerdo:
. - Lado direito:
.
Agora montar a equação:
Reunir termos em
de um lado e termos constantes do outro:
Logo
Podemos expressar isso como fração exata (se preferir):
Passo 7
Com
encontrado, voltar a uma das expressões isoladas para calcular
. Usar a primeira expressão por exemplo.
Primeira expressão:
Substituindo
:
Logo
Observação sobre unidades: como as tensões foram tomadas em
, esse valor de
tem as mesmas unidades (
). Se as tensões forem reinterpretadas em outras unidades (por exemplo
),
muda de acordo com as unidades. Numericamente, com os dados dados, obtemos:
Passo 8
Calcular o módulo de cisalhamento
a partir de
e
. Explicar a fórmula usada.
- Relação entre
, e (para materiais lineares isotrópicos):
Substituindo
e
:
Observação numérica: com os valores exatos obtidos,
é exatamente
(nas mesmas unidades das tensões).
Passo 9
Interpretar brevemente o resultado (motivacional, sem inventar dados).
- Obtivemos três quantidades numéricas:
- Um coeficiente de Poisson negativo
. Isso indica comportamento de material auxético (se interpretarmos literalmente); como aluno, não se assuste: os números indicam isso a partir dos sinais e magnitudes das tensões e deformações fornecidas. - O módulo de elasticidade e o módulo de cisalhamento seguem das relações lineares usadas.
- Um coeficiente de Poisson negativo