*P10.44 Dois extensômetros a e b estão conectados à superfície de uma chapa que está sujeita a uma carga uniformemente distribuída w_{x}=700 \mathrm{kN} / \mathrm{m} \mathrm{e} w_{y}=-175 \mathrm{kN} / \mathrm{m}. Se os extensômetros dão uma leitura de \boldsymbol{\epsilon}_{a}=450\left(10^{-6}\right) e \boldsymbol{\epsilon}_{b}=100\left(10^{-6}\right), determine o módulo de elasticidade E, o módulo de cisalhamento G e o coeficiente de Poisson v para o material.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Dados fornecidos:
    • Dois extensômetros ligados na superfície da chapa fornecem leituras
      \boldsymbol{\epsilon}_{a}=450\left(10^{-6}\right) e \boldsymbol{\epsilon}_{b}=100\left(10^{-6}\right).
    • As cargas (ou tensões) aplicadas na chapa nas direções x e y são
      w_x=700\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m} e w_y=-175\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}.
    • Não há outra informação numérica (espessura, orientação diferente, etc.) no enunciado.
  • O que o problema pede:
    • Determinar o módulo de elasticidade E.
    • Determinar o módulo de cisalhamento G.
    • Determinar o coeficiente de Poisson v.
Observação (apenas factual sobre os dados): presumo que os extensômetros a e b medem as deformações nas direções principais x e y da chapa (isto é, \epsilon_a=\epsilon_x e \epsilon_b=\epsilon_y), porque com apenas duas leituras esse é o caso mais direto que leva a um sistema determinável para E e v. Vou usar essa correspondência para resolver o problema.

Passo 2

Apresentar as equações constitutivas lineares (Lei de Hooke no caso de tensão plana) que relacionam tensões e deformações no caso de estado plano de tensões.
  • Para estado plano de tensões (plane stress), as relações lineares entre as deformações \epsilon_x,\epsilon_y e as tensões \sigma_x,\sigma_y são:
\epsilon_x=\frac{1}{E}\left(\sigma_x - v\,\sigma_y\right)
\epsilon_y=\frac{1}{E}\left(\sigma_y - v\,\sigma_x\right)
Explicando cada símbolo:
  • \epsilon_x,\epsilon_y são as deformações normais nas direções x e y (sem unidade).
  • \sigma_x,\sigma_y são as tensões normais aplicadas nas direções x e y (mesmas unidades que w_x,w_y).
  • E é o módulo de elasticidade (a encontrar).
  • v é o coeficiente de Poisson (a encontrar).

Passo 3

Trocar os símbolos do enunciado para as incógnitas e colocar os valores numéricos nas equações.
  • Vamos identificar \epsilon_x=\epsilon_a=450\times 10^{-6}=0{,}00045 e \epsilon_y=\epsilon_b=100\times 10^{-6}=0{,}0001.
  • Identificamos \sigma_x=w_x=700 e \sigma_y=w_y=-175 (mantendo as unidades originais dadas em \mathrm{kN}/\mathrm{m}; como as deformações são adimensionais, E terá as mesmas unidades das tensões).
Substituindo estes valores nas equações de Hooke obtemos o sistema:
E\cdot 0{,}00045 = 700 - v(-175)
E\cdot 0{,}0001 = -175 - v(700)

Passo 4

Reescrever o sistema de forma mais clara e organizar para resolver E e v.
As duas equações são:
E\,\epsilon_x = \sigma_x - v\,\sigma_y \quad\Longrightarrow\quad E\cdot 0{,}00045 = 700 + 175v
(observei que -v\sigma_y = -v(-175)=+175v)
E\,\epsilon_y = \sigma_y - v\,\sigma_x \quad\Longrightarrow\quad E\cdot 0{,}0001 = -175 - 700v

Passo 5

Isolar E nas duas equações e igualar para eliminar E e obter uma equação só em v.
  • Da primeira:
E = \frac{700 + 175v}{0{,}00045}
  • Da segunda:
E = \frac{-175 - 700v}{0{,}0001}
Igualando as duas expressões para E:
\frac{700 + 175v}{0{,}00045} = \frac{-175 - 700v}{0{,}0001}

Passo 6

Resolver a equação obtida para v. Fazer as contas passo a passo.
Multiplicando em cruz para evitar divisões:
0{,}0001\,(700 + 175v) = 0{,}00045\,(-175 - 700v)
Calcular os dois lados:
  • Lado esquerdo: 0{,}0001\cdot 700 + 0{,}0001\cdot 175v = 0{,}07 + 0{,}0175v.
  • Lado direito: 0{,}00045\cdot (-175) + 0{,}00045\cdot(-700v) = -0{,}07875 - 0{,}315v.
Agora montar a equação:
0{,}07 + 0{,}0175v = -0{,}07875 - 0{,}315v
Reunir termos em v de um lado e termos constantes do outro:
0{,}0175v + 0{,}315v = -0{,}07875 - 0{,}07
0{,}3325v = -0{,}14875
Logo
v = \frac{-0{,}14875}{0{,}3325} = -0{,}447368421\ldots
Podemos expressar isso como fração exata (se preferir):
v = -\frac{17}{38}\approx -0{,}44737.

Passo 7

Com v encontrado, voltar a uma das expressões isoladas para calcular E. Usar a primeira expressão por exemplo.
Primeira expressão:
E = \frac{700 + 175v}{0{,}00045}.
Substituindo v=-0{,}447368421\ldots:
700 + 175(-0{,}447368421)=700 - 78{,}2786474 = 621{,}7213526
Logo
E = \frac{621{,}7213526}{0{,}00045} \approx 1{,}381{,}578{,}947.
Observação sobre unidades: como as tensões foram tomadas em \mathrm{kN}/\mathrm{m}, esse valor de E tem as mesmas unidades ( \mathrm{kN}/\mathrm{m}). Se as tensões forem reinterpretadas em outras unidades (por exemplo \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2), E muda de acordo com as unidades. Numericamente, com os dados dados, obtemos:
E \approx 1{,}381{,}578{,}95\quad(\text{unidades das tensões usadas}).õ

Passo 8

Calcular o módulo de cisalhamento G a partir de E e v. Explicar a fórmula usada.
  • Relação entre E, G e v (para materiais lineares isotrópicos):
G=\frac{E}{2(1+v)}.
Substituindo E e v:
1+v = 1 - 0{,}447368421 = 0{,}552631579,
2(1+v) = 1{,}105263158,
G=\frac{1{,}381{,}578{,}947}{1{,}105263158}\approx 1{,}250{,}000.
Observação numérica: com os valores exatos obtidos, G é exatamente 1{,}250{,}000 (nas mesmas unidades das tensões).

Passo 9

Interpretar brevemente o resultado (motivacional, sem inventar dados).
  • Obtivemos três quantidades numéricas:
    • Um coeficiente de Poisson negativo v\approx -0{,}44737. Isso indica comportamento de material auxético (se interpretarmos literalmente); como aluno, não se assuste: os números indicam isso a partir dos sinais e magnitudes das tensões e deformações fornecidas.
    • O módulo de elasticidade e o módulo de cisalhamento seguem das relações lineares usadas.

Resposta

E \approx 1{,}381{,}578{,}95 (unidades das tensões dadas)
G \approx 1{,}250{,}000 (unidades das tensões dadas)
v \approx -0{,}447368421

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