P10.50 O eixo de aço tem raio de 15 mm . Determine a torção T no eixo se os dois extensômetros, acoplados
à superfície do eixo, relatarem deformações de \epsilon_{x^{\prime}}=-80\left(10^{-6}\right) e \epsilon_{y^{\prime}}=80\left(10^{-6}\right). Além disso, determine as deformações que agem nas direções x e y. E_{\text {aço }}=200 \mathrm{GPa}, \nu_{\text {aço }}=0,3çç.

Passo 1

O enunciado dá um eixo sólido de aço com raio c=15\\ \mathrm{mm} e dois extensômetros montados na superfície, medindo deformações normais ao longo de eixos rotacionados em 45^\circ em relação ao eixo x. Os dados e pedidos são:
  • Dados: c=15\\ \mathrm{mm}=0,015\\ \mathrm{m},
\epsilon_{x'}=-80\,(10^{-6})=-80\times10^{-6},
\epsilon_{y'}=80\,(10^{-6})=80\times10^{-6},
E=200\\ \mathrm{GPa}=200\times10^{9}\\ \mathrm{Pa},\qquad \nu=0,3.
A figura mostra os eixos x' e y' inclinados 45^\circ em relação a x.
  • Pedidos:
    1. Determinar a torção (torque) T no eixo.
    2. Determinar as deformações normais nas direções x e y, isto é \epsilon_x e \epsilon_y.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de transformação de deformações (para pequenas deformações, com \gamma_{xy} sendo a deformação de cisalhamento de engenharia) que dá a deformação normal numa direção girada de \theta em relação a x:
\epsilon_{n}=\epsilon_x\cos^2\theta+\epsilon_y\sin^2\theta+\tfrac{1}{2}\gamma_{xy}\sin2\theta.
Nessa fórmula:
  • \epsilon_x,\epsilon_y são as deformações normais nas direções x e y,
  • \gamma_{xy} é a deformação de cisalhamento de engenharia (deslocamento relativo por unidade de comprimento),
  • \theta é o ângulo entre a direção x e a direção onde medimos \epsilon_n.
Como os extensômetros estão em x' e y' a 45^\circ de x, usaremos \theta=45^\circ para x' e \theta=-45^\circ (ou 135^\circ) para y'.

Passo 3

Para um eixo submetido a torção pura (eixo circular sólido) a tensão na seção transversal é um estado de cisalhamento puro: as tensões normais no plano xy são nulas:
\sigma_x=\sigma_y=0,\qquad \tau_{xy}=\tau\\ \\ (\text{valor de cisalhamento no ponto}).
Em torno disso, as deformações normais associadas a \sigma_x e \sigma_y também são nulas:
\epsilon_x=\epsilon_y=0
porque, em condição de plano de tensões com \sigma_x=\sigma_y=0, as deformações normais dadas pela lei de Hooke ficam zeradas. A única deformação não nula no plano é a deformação de cisalhamento \gamma_{xy}, relacionada à tensão de cisalhamento por
\gamma_{xy}=\frac{\tau_{xy}}{G},
onde G é o módulo de cisalhamento do material, dado por
G=\frac{E}{2(1+\nu)}.

Passo 4

Aplicamos a fórmula de transformação às leituras dos extensômetros. Como \epsilon_x=\epsilon_y=0, a fórmula simplifica para
\epsilon_{x'}=\tfrac{1}{2}\gamma_{xy}\sin2\theta,\qquad \epsilon_{y'}=\tfrac{1}{2}\gamma_{xy}\sin2\theta'
Para x' com \theta=45^\circ temos \sin2\theta=\sin90^\circ=1, então
\epsilon_{x'}=\tfrac{1}{2}\gamma_{xy}.
Para y' com \theta'=-45^\circ (ou 135^\circ) temos \sin2\theta'=\sin(-90^\circ)=-1, então
\epsilon_{y'}=-\tfrac{1}{2}\gamma_{xy}.
Portanto, as duas leituras devem ser opostas em sinal e de mesma magnitude, exatamente como dado. Usando os valores numéricos:
\epsilon_{x'}=-80\times10^{-6}=\tfrac{1}{2}\gamma_{xy}\quad\Rightarrow\quad \gamma_{xy}=-160\times10^{-6}.
Verificação com \epsilon_{y'}:
\epsilon_{y'}=-\tfrac{1}{2}\gamma_{xy}=-\tfrac{1}{2}(-160\times10^{-6})=80\times10^{-6},
que coincide com a leitura dada.

Passo 5

Agora relacionamos \gamma_{xy} com a tensão de cisalhamento no ponto da superfície:
\gamma_{xy}=\frac{\tau_{xy}}{G}, \qquad G=\frac{E}{2(1+\nu)}.
Calculamos G:
G=\frac{200\times10^{9}}{2(1+0,3)}=\frac{200\times10^{9}}{2,6}=76,923\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}\approx76,923\\ \mathrm{GPa}.
Então a tensão de cisalhamento na superfície vale
\tau_{xy}=G\,\gamma_{xy}=76{,}923\times10^{9}\cdot(-160\times10^{-6})\\ \mathrm{Pa}.
Fazendo a conta:
\tau_{xy}\approx-12{,}307{,}692{,}3\\ \mathrm{Pa}\approx-12{,}31\\ \mathrm{MPa}.
(O sinal negativo indica sentido do cisalhamento; o módulo é 12{,}31\\ \mathrm{MPa}.)

Passo 6

Relação entre tensão de cisalhamento na superfície e torque T para eixo circular sólido:
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde J é o momento polar de inércia da seção (para círculo sólido)
J=\frac{\pi c^{4}}{2}.
Calculamos J com c=0,015\\ \mathrm{m}:
J=\frac{\pi(0,015)^{4}}{2}=\frac{\pi\cdot5{,}0625\times10^{-8}}{2}\approx7{,}95\times10^{-8}\\ \mathrm{m}^4.

Passo 7

Isolando T e substituindo \tau_{xy}:
T=\frac{\tau_{xy}\,J}{c}.
Substituindo numericamente:
T=\frac{(-12{,}307{,}692{,}3\\ \mathrm{Pa})\cdot(7{,}95\times10^{-8}\\ \mathrm{m}^4)}{0,015\\ \mathrm{m}}.
Fazendo a conta:
T\approx-65{,}3\\ \mathrm{N\cdot m}.
O sinal negativo só indica sentido da torção relativo ao sistema de coordenadas; o torque de módulo é 65{,}3\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 8

Agora as deformações nas direções x e y. Já usamos que, sob torção pura (estado de cisalhamento puro no plano), \sigma_x=\sigma_y=0, logo pelas relações constitutivas lineares:
\epsilon_x=\epsilon_y=0.
Isso significa que os extensômetros inclinados mediram apenas efeitos de cisalhamento (transformados em deformações normais nas suas direções inclinadas), enquanto nas direções x e y as deformações normais são nulas.

Resposta

\displaystyle T\approx-65{,}3\\ \mathrm{N\cdot m} (módulo 65{,}3\\ \mathrm{N\cdot m})
\displaystyle \epsilon_x=0
\displaystyle \epsilon_y=0

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