P10.50 O eixo de aço tem raio de 15 mm . Determine a torção
no eixo se os dois extensômetros, acoplados
à superfície do eixo, relatarem deformações de
e
. Além disso, determine as deformações que agem nas direções
e
.
.
à superfície do eixo, relatarem deformações de
Passo 1
O enunciado dá um eixo sólido de aço com raio
e dois extensômetros montados na superfície, medindo deformações normais ao longo de eixos rotacionados em
em relação ao eixo
. Os dados e pedidos são:
- Dados:
A figura mostra os eixos
e
inclinados
em relação a
.
- Pedidos:
- Determinar a torção (torque)
no eixo. - Determinar as deformações normais nas direções
e , isto é e .
- Determinar a torção (torque)
Passo 2
Vamos usar a fórmula de transformação de deformações (para pequenas deformações, com
sendo a deformação de cisalhamento de engenharia) que dá a deformação normal numa direção girada de
em relação a
:
Nessa fórmula:
-
são as deformações normais nas direções e , -
é a deformação de cisalhamento de engenharia (deslocamento relativo por unidade de comprimento), -
é o ângulo entre a direção e a direção onde medimos .
Como os extensômetros estão em
e
a
de
, usaremos
para
e
(ou
) para
.
Passo 3
Para um eixo submetido a torção pura (eixo circular sólido) a tensão na seção transversal é um estado de cisalhamento puro: as tensões normais no plano
são nulas:
Em torno disso, as deformações normais associadas a
e
também são nulas:
porque, em condição de plano de tensões com
, as deformações normais dadas pela lei de Hooke ficam zeradas. A única deformação não nula no plano é a deformação de cisalhamento
, relacionada à tensão de cisalhamento por
onde
é o módulo de cisalhamento do material, dado por
Passo 4
Aplicamos a fórmula de transformação às leituras dos extensômetros. Como
, a fórmula simplifica para
Para
com
temos
, então
Para
com
(ou
) temos
, então
Portanto, as duas leituras devem ser opostas em sinal e de mesma magnitude, exatamente como dado. Usando os valores numéricos:
Verificação com
:
que coincide com a leitura dada.
Passo 5
Agora relacionamos
com a tensão de cisalhamento no ponto da superfície:
Calculamos
:
Então a tensão de cisalhamento na superfície vale
Fazendo a conta:
(O sinal negativo indica sentido do cisalhamento; o módulo é
.)
Passo 6
Relação entre tensão de cisalhamento na superfície e torque
para eixo circular sólido:
onde
é o momento polar de inércia da seção (para círculo sólido)
Calculamos
com
:
Passo 7
Isolando
e substituindo
:
Substituindo numericamente:
Fazendo a conta:
O sinal negativo só indica sentido da torção relativo ao sistema de coordenadas; o torque de módulo é
.
Passo 8
Agora as deformações nas direções
e
. Já usamos que, sob torção pura (estado de cisalhamento puro no plano),
, logo pelas relações constitutivas lineares:
Isso significa que os extensômetros inclinados mediram apenas efeitos de cisalhamento (transformados em deformações normais nas suas direções inclinadas), enquanto nas direções
e
as deformações normais são nulas.