P2.13 Um motor a jato desenvolve uma impulsão constante máxima
, sendo usado para impulsinar um avião cuja força de atrito é proporcional ao quadrado da velocidade. Se o avião iniciar seu movimento em
a velocidade desprezível e acelerar com a impulsão máxima, determine sua velocidade
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que um motor a jato aplica uma força constante máxima
num avião, mas a resistência do ar (atrito) cresce com o quadrado da velocidade, ou seja,
. A partir de
o avião parte do repouso e acelera com essa força constante. Nosso objetivo é achar a velocidade
.
Conteúdo: Dinâmica (2ª lei de Newton) e Equação Diferencial de 1ª ordem, resolvida por separação de variáveis.
O que vamos precisar:
Conteúdo: Dinâmica (2ª lei de Newton) e Equação Diferencial de 1ª ordem, resolvida por separação de variáveis.
O que vamos precisar:
- Escrever a 2ª lei de Newton:
. - Separar variáveis e integrar.
- Usar condição inicial
.
Passo 2
Escrevendo a 2ª lei de Newton:
Aqui
é a massa do avião,
a impulsão constante e
o coeficiente que faz o atrito crescer com
.
Passo 3
A gente separa variáveis para poder integrar:
Passo 4
Integrando os dois lados:
O integral de
é
. Aqui
, então
.
Fazendo o cálculo:
[
\int_{0}^{v}\frac{du}{F_{0} - k,u^2}
\int_{0}^{v}\frac{du}{k\bigl(\tfrac{F_{0}}{k} - u^2\bigr)}
\frac{1}{k},\frac{1}{\sqrt{F_{0}/k}},
\mathrm{artanh}!\bigl(u\sqrt{k/F_{0}}\bigr)\Big|_{0}^{v}
\frac{1}{\sqrt{F_{0}k}},
\mathrm{artanh}!\bigl(v\sqrt{k/F_{0}}\bigr).
]
\mathrm{artanh}!\bigl(v\sqrt{k/F_{0}}\bigr).
]
Do outro lado dá simplesmente
. Então:
Passo 5
Isolando
:
[
\mathrm{artanh}!\bigl(v\sqrt{k/F_{0}}\bigr)
\frac{\sqrt{F_{0}k}}{m};t.
]
Aplicamos a função inversa (tanh) em ambos os lados:
[
v\sqrt{\frac{k}{F_{0}}}
\tanh!\Bigl(\frac{\sqrt{F_{0}k}}{m},t\Bigr).
]
Logo
[
v(t)
\sqrt{\frac{F_{0}}{k}};\tanh!\Bigl(\frac{\sqrt{F_{0}k}}{m},t\Bigr).
]
]