P2.13 Um motor a jato desenvolve uma impulsão constante máxima F0, sendo usado para impulsinar um avião cuja força de atrito é proporcional ao quadrado da velocidade. Se o avião iniciar seu movimento em t=0 a velocidade desprezível e acelerar com a impulsão máxima, determine sua velocidade v(t).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um motor a jato aplica uma força constante máxima num avião, mas a resistência do ar (atrito) cresce com o quadrado da velocidade, ou seja, . A partir de o avião parte do repouso e acelera com essa força constante. Nosso objetivo é achar a velocidade .
Conteúdo: Dinâmica (2ª lei de Newton) e Equação Diferencial de 1ª ordem, resolvida por separação de variáveis.
O que vamos precisar:
  1. Escrever a 2ª lei de Newton: .
  2. Separar variáveis e integrar.
  3. Usar condição inicial .

Passo 2

Escrevendo a 2ª lei de Newton:
m,dvdt ;=; F0 ;-; k,v^2
Aqui é a massa do avião, a impulsão constante e o coeficiente que faz o atrito crescer com .

Passo 3

A gente separa variáveis para poder integrar:
dvF0 - k,v^2 ;=; dtm

Passo 4

Integrando os dois lados:
integral0^v duF0 - k,u^2 ;=; integral0^t dt'm
O integral de integral0^vduF0 - k,u^2 = integral0^vdukl(tfracF0k - u^2r) = 1k,1raizF0/k, artanh!l(uraizk/F0r)|0^v = 1raizF0k, artanh!l(vraizk/F0r) é 1raizF0k, artanh!l(vraizk/F0r) ;=;tm . Aqui , então .

Fazendo o cálculo:
[
\int_{0}^{v}\frac{du}{F_{0} - k,u^2}

\int_{0}^{v}\frac{du}{k\bigl(\tfrac{F_{0}}{k} - u^2\bigr)}

\frac{1}{k},\frac{1}{\sqrt{F_{0}/k}},
\mathrm{artanh}!\bigl(u\sqrt{k/F_{0}}\bigr)\Big|_{0}^{v}

\frac{1}{\sqrt{F_{0}k}},
\mathrm{artanh}!\bigl(v\sqrt{k/F_{0}}\bigr).
]
Do outro lado dá simplesmente . Então:

Passo 5

Isolando artanh!l(vraizk/F0r) = raizF0km;t :
[
\mathrm{artanh}!\bigl(v\sqrt{k/F_{0}}\bigr)

\frac{\sqrt{F_{0}k}}{m};t.
]
Aplicamos a função inversa (tanh) em ambos os lados:
[
v\sqrt{\frac{k}{F_{0}}}

\tanh!\Bigl(\frac{\sqrt{F_{0}k}}{m},t\Bigr).
]
Logo
[
v(t)

\sqrt{\frac{F_{0}}{k}};\tanh!\Bigl(\frac{\sqrt{F_{0}k}}{m},t\Bigr).
]

Resposta

boxedv(t) ;=;raizF0k;tanh!l(raizF0km,tr)

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