Um paciente toma 150 mg de um fármaco, ao mesmo tempo, todos os dias. Imediatamente antes de cada comprimido que é tomado, 5 % da droga permanece no corpo.
(a) Qual quantidade do fármaco no corpo depois do terceiro comprimido? Após o n-ésimo comprimido?
(b) Qual quantidade da droga permanece no corpo, a longo prazo?

Passo 1

O enunciado diz que todo dia o paciente toma ,150 mg de fármaco e que, imediatamente antes de cada dose, resta apenas 5% do que havia no corpo.
Conteúdo: modelar por uma sequência recorrente e usar soma de progressão geométrica.

Passo 2

Vamos chamar de Xn a quantidade de fármaco no corpo logo após o n-ésimo comprimido.
Antes de tomar o n-ésimo comprimido, sobra 0,05,Xn-1. Ao tomar o comprimido, somam-se 150 mg. Logo a recorrência é
Xn ;=;150 + 0,05,Xn-1,
com condição inicial
X1 = 150

Passo 3

Para resolver a recorrência do tipo Xn = a + r,Xn-1 usamos soma de progressão geométrica:
Xn = 150sumk=0^n-1(0,05)^k =150;1-(0,05)^n1-0,05

Passo 4

Substituindo n=3 na fórmula acima:
X3 =150;1-(0,05)^30,95 =150;1-0,0001250,95 =150cdot1,0525 =157,875 mg

Passo 5

Para o comportamento a longo prazo, note que (0,05)^nto0 quando ntoinfty. Assim
limntoinftyXn =150;1-00,95 =1500,95 approx157,8947 mg

Resposta

(a) Depois do terceiro comprimido há X3=157,875 mg. Após o n-ésimo comprimido
Xn =150;1-(0,05)^n0,95
(b) A longo prazo permanece
limntoinftyXn =1500,95approx157,8947 mg

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