Um tanque inicialmente contém 50 litros de água com 10 g de sal. Uma solução contendo
de sal entra no tanque a
. A mistura é perfeitamente homogênea e a mesma quantidade sai do tanque por um orifício no fundo.
Quer-se:
- Determinar a quantidade de sal no tanque em qualquer instante de tempo
.
Passo 1
Temos um tanque com volume constante de
que contém inicialmente
de sal. Entra uma solução com concentração de
à vazão de
e sai mistura homogênea à mesma vazão. Para resolver, vamos usar equações diferenciais lineares de primeira ordem e achar
, a quantidade de sal em gramas no tanque.
Passo 2
Definindo
como a quantidade de sal (em g) no tanque no instante
(em min), a entrada de sal é
e a saída, dado que o volume é constante
e a concentração interna é
, é
. Assim, montamos a EDO:
Passo 3
Passo 4
Reescrevendo como EDO linear de 1ª ordem, temos
O fator integrante é
Multiplicando tudo por
dá
Integrando,
logo a solução geral é
Passo 5
Aplicando a condição inicial
, obtemos
, ou seja
. Substituindo em
, resulta em