Um tanque inicialmente contém 50 litros de água com 10 g de sal. Uma solução contendo 2 g / L de sal entra no tanque a 5 L / min. A mistura é perfeitamente homogênea e a mesma quantidade sai do tanque por um orifício no fundo.
Quer-se:
  1. Determinar a quantidade de sal no tanque em qualquer instante de tempo t t t.

Passo 1

Temos um tanque com volume constante de 50,L que contém inicialmente 10,g de sal. Entra uma solução com concentração de 2,g/L à vazão de 5,L/min e sai mistura homogênea à mesma vazão. Para resolver, vamos usar equações diferenciais lineares de primeira ordem e achar x(t), a quantidade de sal em gramas no tanque.

Passo 2

Definindo x(t) como a quantidade de sal (em g) no tanque no instante t (em min), a entrada de sal é 5times2=10,g/min e a saída, dado que o volume é constante 50,L e a concentração interna é x/50, é (x/50)times5=tfracx10,g/min. Assim, montamos a EDO:

Passo 3

dxdt=10-x10

Passo 4

Reescrevendo como EDO linear de 1ª ordem, temos
dxdt+110x=10
O fator integrante é
mu(t)=e^integral110dt=e^t/10
Multiplicando tudo por e^t/10
ddtl(xe^t/10r)=10e^t/10
Integrando,
x e^t/10=100e^t/10+C,
logo a solução geral é
x(t)=100+Ce^-t/10

Passo 5

Aplicando a condição inicial x(0)=10, obtemos 10=100+C, ou seja C=-90. Substituindo em x(t), resulta em
x(t)=100-90e^-t/10

Resposta

x(t)=100-90e^-t/10 g

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