Exercício 7: Simplifique as expressões abaixo:
1)
2 x^2-4 x-63 x^2-15 x+18
x^4-16x-2

Passo 1

O enunciado pede para simplificar duas expressões racionais. O conteúdo envolvido é fatoração de polinômios (extração de fator comum, trinômio do segundo grau e diferença de quadrados) e cancelamento de fatores comuns.

Passo 2

Para simplificar
2x^2-4x-63x^2-15x+18,
primeiro fatoramos numerador e denominador.
No numerador, extraímos 2:
2x^2-4x-6 = 2l(x^2-2x-3r)
Em seguida, fatoramos o trinômio x^2-2x-3 como
x^2-2x-3 = (x-3)(x+1)
Logo
2x^2-4x-6 = 2(x-3)(x+1)
No denominador, extraímos 3:
3x^2-15x+18 = 3l(x^2-5x+6r),
e fatoramos
x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)
Assim
3x^2-15x+18 = 3(x-2)(x-3)
Cancelando o fator comum (x-3), obtemos
2(x-3)(x+1)3(x-2)(x-3) = 2(x+1)3(x-2), xneq 3,;xneq 2

Passo 3

Para simplificar
x^4-16x-2,
reconhecemos no numerador uma diferença de quadrados:
x^4-16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2-4)(x^2+4)
Além disso, x^2-4 é outra diferença de quadrados:
x^2-4 = (x-2)(x+2)
Logo
x^4-16 = (x-2)(x+2)(x^2+4)
Dividindo por (x-2) e cancelando esse fator, fica
(x-2)(x+2)(x^2+4)x-2 = (x+2)(x^2+4), xneq 2

Resposta

  1. 2(x+1)3(x-2)
  2. (x+2)(x^2+4)

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