Os pacientes de um hospital são submetidos a um tratamento de saúde cujo tempo de cura está normalmente distribuído com média de 15 dias e desvio-padrão de 2 dias.
Qual a probabilidade de um paciente escolhido ao acaso apresentar tempo de cura inferior a 20 dias?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem direta. Listei abaixo para a gente não se perder:
  • Informação 1: o tempo de cura segue uma distribuição normal com média \mu=15 dias.
  • Informação 2: o desvio-padrão é \sigma=2 dias.
  • Pergunta: qual a probabilidade de um paciente escolhido ao acaso apresentar tempo de cura inferior a 20 dias? Em símbolos: queremos P(X<20) onde X é o tempo de cura.

Passo 2

Entendendo o que significa “distribuição normal” e as letras que temos:
  • Uma variável aleatória X com distribuição normal é caracterizada por dois parâmetros: média \mu (o centro, o valor “esperado”) e desvio-padrão \sigma (medida de dispersão). Aqui \mu=15 e \sigma=2.
  • Quando escrevemos X\sim N(\mu,\sigma^2), o \sigma^2 é a variância; no nosso caso \sigma^2=2^2=4.
  • A pergunta "probabilidade de X<20" pede a área sob a curva normal à esquerda de x=20.

Passo 3

Para facilitar o cálculo usamos a normal padrão. A normal padrão é a distribuição normal com média 0 e desvio-padrão 1; chamamos essa variável de Z. Para transformar X em Z usamos a padronização (essa fórmula é fundamental e bem usada em prova):
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}
Aqui cada símbolo significa: X é o valor original (tempo de cura), \mu é a média, \sigma é o desvio-padrão, e Z é o valor padronizado (quantos desvios-padrão X está distante da média).

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso para X=20:
z=\frac{20-\mu}{\sigma}=\frac{20-15}{2}=\frac{5}{2}=2,5
Isso significa que 20 dias está 2{,}5 desvios-padrão acima da média. A probabilidade pedida é então
P(X<20)=P\!\left(Z<2,5\right)
porque a padronização preserva as probabilidades.

Passo 5

Agora precisamos do valor de P(Z<2,5). Esse valor vem da tabela da normal padrão (ou de uma calculadora/soft). Na tabela padrão, a probabilidade acumulada até z=2,50 é 0,9938. Ou seja,
P\!\left(Z<2,5\right)=0,9938.
Interpretação intuitiva: cerca de 99{,}38\% dos pacientes têm tempo de cura menor que 20 dias — é uma probabilidade bem alta porque 20 dias está bem acima da média relativa ao desvio-padrão.

Passo 6

Resumo prático para a prova (receita de bolso):
  1. Identifique \mu e \sigma.
  2. Calcule z=(x-\mu)/\sigma.
  3. Use a tabela da normal padrão ou calculadora para achar P(Z<z).
    Aqui ficou: z=2,5 e P(X<20)=P(Z<2,5)=0,9938. Força aí — essa técnica de padronização resolve quase toda questão de probabilidade com normal!

Resposta

P(X<20)=0,9938

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