Os pacientes de um hospital são submetidos a um tratamento de saúde cujo tempo de cura está normalmente distribuído com média de 15 dias e desvio-padrão de 2 dias.
Qual deve ser o tempo máximo necessário para a recuperação de 30 \% dos pacientes?

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de cura X é normalmente distribuído com média \mu=15 dias e desvio-padrão \sigma=2 dias. A pergunta é: “Qual deve ser o tempo máximo necessário para a recuperação de 30\% dos pacientes?”\n
Em outras palavras, queremos o valor x tal que
P(X \le x)=0,30.

Passo 2

O que significa pedir o “tempo máximo para 30\% dos pacientes”? Significa pedir o percentil 30\% da distribuição, também chamado de 30ª percentil. Vou chamar esse valor de x_{0,30}, isto é,
x_{0,30}\\ \text{é o valor tal que}\\ P(X\le x_{0,30})=0,30.é
Para encontrar esse x_{0,30} usamos a relação entre a normal geral X e a normal padrão Z.

Passo 3

Padronizamos a variável X para usar tabelas ou funções da normal padrão. A padronização é a fórmula
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde Z tem distribuição normal padrão (média 0 e desvio-padrão 1). Aplicando isso ao percentil, temos
P(X\le x_{0,30})=P\!\left(Z\le\frac{x_{0,30}-\mu}{\sigma}\right)=0,30.
Logo, se definirmos z_{0,30} como o quantil 30\% da normal padrão,
z_{0,30}=\Phi^{-1}(0,30),
então
\frac{x_{0,30}-\mu}{\sigma}=z_{0,30}
e isolando x_{0,30} obtemos a fórmula prática
x_{0,30}=\mu+z_{0,30}\sigma.
Aqui \Phi é a função distribuição acumulada da normal padrão e \Phi^{-1} é sua inversa (o quantil).

Passo 4

Agora precisamos do valor numérico de z_{0,30}=\Phi^{-1}(0,30). Como 0,30<0,50, esperamos um z negativo. Se você usar uma calculadora científica com função “invNorm” ou uma tabela da normal padrão, obtém aproximadamente
z_{0,30}\approx-0,5244.
Se você só tiver a tabela com duas casas decimais, dá para interpolar: \Phi(-0,52)=0,3015 e \Phi(-0,53)=0,2981. O valor 0,30 está entre esses dois; interpolando obtemos aproximadamente -0,5244. Então esse é um valor razoável para usar na prova.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula x_{0,30}=\mu+z_{0,30}\sigma. Substituindo \mu=15, \sigma=2 e z_{0,30}\approx-0,5244:
x_{0,30}=15+(-0,5244)\cdot 2.
Calcule passo a passo:
(-0,5244)\cdot 2=-1,0488,
15-1,0488=13,9512.

Passo 6

Arredondando para duas casas decimais (prática comum em estatística), temos x_{0,30}\approx13,95 dias. Isso significa que cerca de 30\% dos pacientes se recuperam em até aproximadamente 13,95 dias. Boa! Você traduziu a ideia de percentil para uma conta prática — é isso que costuma cair na prova.

Resposta

13,95 dias

Exercícios relacionados