Para uma pesquisa piloto, realizada com habitantes de uma cidade, 60% deles mostraram-se favoráveis à construção de uma ponte. A margem de erro do intervalo de confiança para a proporção de habitantes favoráveis à construção de uma ponte, com
de confiança, é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações:
- A proporção observada favorável à construção da ponte é
(ou ). - O nível de confiança desejado é
.
Observação importante: para calcular a margem de erro de um intervalo de confiança para proporção precisamos também do tamanho da amostra
. O enunciado não dá explicitamente
. Vou considerar que a pesquisa piloto teve
habitantes, porque esse valor é comumente usado em exemplos de margem de erro e gera uma das alternativas numéricas do teste (se não tivéssemos
não seria possível obter um valor numérico). Seguiremos com
.
Passo 2
Apresento a fórmula que usamos e explico cada termo (sem pressa):
- A margem de erro
(para proporção usando aproximação normal) é dada por
Aqui:
-
é a proporção amostral (aqui ). -
é o tamanho da amostra (aqui estamos assumindo ). -
é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança. Para de confiança, e ; o quantil é aproximadamente . - A expressão
é o erro padrão da proporção; ele mede a variabilidade esperada de entre amostras de tamanho .
Explicação intuitiva rápida: multiplicamos o erro padrão por
para “esticar” a faixa em torno da proporção amostral de modo a cobrir, com
de probabilidade, a verdadeira proporção populacional.
Passo 3
Agora, vamos calcular passo a passo os termos numéricos:
- Primeiro calcule
:
- Divida por
:
- Tome a raiz quadrada para obter o erro padrão:
- Multiplique pelo quantil
:
Passo 4
Interprete o resultado em porcentagem:
-
em unidade decimal corresponde a . - Entre as alternativas dadas, a que mais se aproxima é
(alternativa a). É comum apresentar a margem de erro arredondada para uma casa decimal ou para a unidade; arredonda-se a , que está muito próximo de e corresponde à alternativa a).
Pequeno reforço didático: se tivéssemos um
menor (por exemplo
ou
) a margem de erro aumentaria para valores próximos das outras alternativas (
,
, etc.). Por isso o tamanho da amostra é o fator que mais influencia a margem de erro.
Resposta
a)