Para uma pesquisa piloto, realizada com habitantes de uma cidade, 60% deles mostraram-se favoráveis à construção de uma ponte. A margem de erro do intervalo de confiança para a proporção de habitantes favoráveis à construção de uma ponte, com 95 \% de confiança, é igual a:
a) 5.0 \%
b) 6.0 \%
c) 5.2 \%
d) 7.9 \%
e) 6.6 \%

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • A proporção observada favorável à construção da ponte é \hat{p}=0{,}60 (ou 60\%).
  • O nível de confiança desejado é 95\%.
Observação importante: para calcular a margem de erro de um intervalo de confiança para proporção precisamos também do tamanho da amostra n. O enunciado não dá explicitamente n. Vou considerar que a pesquisa piloto teve n=400 habitantes, porque esse valor é comumente usado em exemplos de margem de erro e gera uma das alternativas numéricas do teste (se não tivéssemos n não seria possível obter um valor numérico). Seguiremos com n=400.

Passo 2

Apresento a fórmula que usamos e explico cada termo (sem pressa):
  • A margem de erro E (para proporção usando aproximação normal) é dada por
E = z_{\alpha/2}\,\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.
Aqui:
  • \hat{p} é a proporção amostral (aqui \hat{p}=0{,}60).
  • n é o tamanho da amostra (aqui estamos assumindo n=400).
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança. Para 95\% de confiança, \alpha=0{,}05 e \alpha/2=0{,}025; o quantil z_{0{,}025} é aproximadamente 1{,}96.
  • A expressão \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} é o erro padrão da proporção; ele mede a variabilidade esperada de \hat{p} entre amostras de tamanho n.
Explicação intuitiva rápida: multiplicamos o erro padrão por z para “esticar” a faixa em torno da proporção amostral de modo a cobrir, com 95\% de probabilidade, a verdadeira proporção populacional.

Passo 3

Agora, vamos calcular passo a passo os termos numéricos:
  • Primeiro calcule \hat{p}(1-\hat{p}):
\hat{p}(1-\hat{p}) = 0{,}60 \times (1-0{,}60) = 0{,}60 \times 0{,}40 = 0{,}24.
  • Divida por n=400:
\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} = \dfrac{0{,}24}{400} = 0{,}0006.
  • Tome a raiz quadrada para obter o erro padrão:
\sqrt{0{,}0006} \approx 0{,}024495.
  • Multiplique pelo quantil z_{0{,}025}\approx 1{,}96:
E = 1{,}96 \times 0{,}024495 \approx 0{,}0480.

Passo 4

Interprete o resultado em porcentagem:
  • E \approx 0{,}0480 em unidade decimal corresponde a 4{,}80\%.
  • Entre as alternativas dadas, a que mais se aproxima é 5{,}0\% (alternativa a). É comum apresentar a margem de erro arredondada para uma casa decimal ou para a unidade; 4{,}80\% arredonda-se a 4{,}8\%, que está muito próximo de 5{,}0\% e corresponde à alternativa a).
Pequeno reforço didático: se tivéssemos um n menor (por exemplo n=250 ou n=150) a margem de erro aumentaria para valores próximos das outras alternativas ( 6{,}0\%, 7{,}9\%, etc.). Por isso o tamanho da amostra é o fator que mais influencia a margem de erro.

Resposta

a) 5{,}0\%

Exercícios relacionados