Um pacote de onda pode ser descrito por
, em
. Considere que a função distribuição seja
no intervalo
e
para outros valores de
.
Mostre que
, onde
Mostre que
Passo 1
Beleza, o que a questão diz é que temos um “pacote de onda”
com
O que a gente quer mostrar é que isso dá
onde definimos
Conteúdo principal: cálculo de integrais simples de cosseno e uso da identidade trigonométrica
Passo 2
Vamos escrever a integral com os limites onde
:
$$\psi(x)=\int_{-\infty}^{\infty}A(k)\cos(kx),dk
=\int_{k_1}^{k_2}C,\cos(kx),dk,. $$
Passo 3
Agora é só calcular a integral de
em relação a
. Lembra que
Logo,
$$\psi(x)
=C;\frac{\sen(kx)}{x}\Big|_{k_1}^{k_2}
=;C,\frac{\sen(k_2x)-\sen(k_1x)}{,x,},. $$
Passo 4
Aplicamos a identidade
$$\sen(k_2x)-\sen(k_1x)
=2,\cos!\Bigl(\frac{k_2x+k_1x}{2}\Bigr),\sen!\Bigl(\frac{k_2x-k_1x}{2}\Bigr).
\psi(x)
=C;\frac{2,\cos!\bigl(\tfrac{(k_1+k_2)x}{2}\bigr),\sen!\bigl(\tfrac{(k_2-k_1)x}{2}\bigr)}{x}
=2C;\frac{\sen!\bigl(\tfrac{\Delta k}{2}x\bigr)}{x};\cos(\bar k,x),. $$
Lembra que e
.
Lembra que
Passo 5
Só falta ajustar a constante
para ficar no formato pedido. Queremos
Note que
$$\frac{\sen\bigl(\tfrac{\Delta k}{2}x\bigr)}{\tfrac{\Delta k}{2}x}
=\frac{2}{\Delta k},\frac{\sen\bigl(\tfrac{\Delta k}{2}x\bigr)}{x},. 2C=\frac{2}{\Delta k}\quad\Longrightarrow\quad C=\frac{1}{\Delta k},. $$
Resposta
$$\boxed{\psi(x)=\frac{\sen!\bigl(\tfrac{\Delta k}{2}x\bigr)}{\tfrac{\Delta k}{2}x},\cos(\bar k,x),\quad
\Delta k=k_2-k_1,;\bar k=\frac{k_1+k_2}{2},.}$$