Um pacote de onda pode ser descrito por psi(x)=integral A(k) cos (k x) d k, em t=0. Considere que a função distribuição seja A(k)=C no intervalo k1 <= k <= k2 e A(k)=0 para outros valores de k.
Mostre que psi(x)=sen(De, onde bark=k1+k22

Passo 1

Beleza, o que a questão diz é que temos um “pacote de onda”
psi(x)=integral A(k),cos(kx),dk(t=0)
com
A(k)=C,&k1<= k<= k20,&caso contrárioá
O que a gente quer mostrar é que isso dá

onde definimos
psi(x)=sen!l(tfracDe
Conteúdo principal: cálculo de integrais simples de cosseno e uso da identidade trigonométrica

Passo 2

Vamos escrever a integral com os limites onde A(k)=C:
$$\psi(x)=\int_{-\infty}^{\infty}A(k)\cos(kx),dk
=\int_{k_1}^{k_2}C,\cos(kx),dk,. $$

Passo 3

Agora é só calcular a integral de cos(kx) em relação a k. Lembra que

Logo,
$$\psi(x)
=C;\frac{\sen(kx)}{x}\Big|_{k_1}^{k_2}
=;C,\frac{\sen(k_2x)-\sen(k_1x)}{,x,},. $$

Passo 4

Aplicamos a identidade
$$\sen(k_2x)-\sen(k_1x)
=2,\cos!\Bigl(\frac{k_2x+k_1x}{2}\Bigr),\sen!\Bigl(\frac{k_2x-k_1x}{2}\Bigr). sen(k2x)-sen(k1x) =2,cos!l(k2x+k1x2r),sen!l(k2x-k1x2r)\psi(x)
=C;\frac{2,\cos!\bigl(\tfrac{(k_1+k_2)x}{2}\bigr),\sen!\bigl(\tfrac{(k_2-k_1)x}{2}\bigr)}{x}
=2C;\frac{\sen!\bigl(\tfrac{\Delta k}{2}x\bigr)}{x};\cos(\bar k,x),. $$
Lembra que psi(x) e psi(x) =C;2,cos!l(tfrac(k1+k2)x2r),sen!l(tfrac(k2-k1)x2r)x =2C;sen!l(tfracDe.

Passo 5

Só falta ajustar a constante C para ficar no formato pedido. Queremos

Note que
$$\frac{\sen\bigl(\tfrac{\Delta k}{2}x\bigr)}{\tfrac{\Delta k}{2}x}
=\frac{2}{\Delta k},\frac{\sen\bigl(\tfrac{\Delta k}{2}x\bigr)}{x},. 2C=\frac{2}{\Delta k}\quad\Longrightarrow\quad C=\frac{1}{\Delta k},. $$

Resposta

$$\boxed{\psi(x)=\frac{\sen!\bigl(\tfrac{\Delta k}{2}x\bigr)}{\tfrac{\Delta k}{2}x},\cos(\bar k,x),\quad
\Delta k=k_2-k_1,;\bar k=\frac{k_1+k_2}{2},.}$$

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